Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Примеры (и) и (Ш) служат также прототипами для ряда одномерных задач
теории волн на воде. Пользуясь работами [54] и [55], выведите НУШ
at + а'ах-ахх + г'Ра2а* = 0
Вывод уравнения Кортевега - де Фриза 71
для поверхностных гравитационных волн. В этом уравнении
где тДх, t), уровень свободной поверхности, есть (а/2)ei{kx-at) + + (*)>
g- ускорение силы тяжести и h - невозмущенная глубина. Заметим, что р
меняет знак при kh = 1.36. Это означает, что солитоны образуются на
глубокой воде (kh> 1.36), но этого не происходит, если глубина меньше.
Случай двух пространственных переменных обсуждается у Бенни и Роскеса
[56] и у Дэви и Стюартсона [57].
(iv) Следующий пример основывается на экспериментальных наблюдениях By,
Кесляна и Рудника (препринт), указывающих на существование явления,
названного ими гидродинамическими поляронами в резонаторе в виде
наполненного водой желоба. Идея в общих чертах такова. Линейное
дисперсионное соотношение для волн в прямоугольной кювете есть ш2 = X X
th kh, где k - (k2x + к*)112. Допустим, что размер кюветы Ьу в
направлении у мал по сравнению с ее размером Lx в направлении х. В
эксперименте было Ly = 2.54 см и Lx = 38 см, глубина воды была равна 2
см, однако вода была глубокой в том смысле, что kh " 3. Компонента по оси
у волнового числа низшей моды равна ky = n/Ly. Отметим, что если частота
to источника меньше собственной частоты моды (0, 1) с? =0, & =
X у
= n/Ly, to2, - gky th kyh, то волна не может распространяться по х, а
будет захваченной у стенки кюветы со смещением свободной поверхности
т)(х, у, t) ~ е ' х' coskyy (Ае~ш + А*еш), где cog, > to2 = g (k2x +
k2y12th (k\ + k2y12 h и k2 < 0. Вышеупо-
мянутые авторы обнаружили, что вследствие компенсации нелинейными
эффектами дисперсионных, импульсы типа солитонов могут располагаться в
произвольных местах канала. Они пишут об удивлении, с которым они
обнаружили локализованные импульсы в случае, когда возмущение было
однородным по х. Это, однако, нисколько не удивительно, и мы увидим в
следующем разделе, что однородный отклик неустойчив, и неустойчивость
приводит к росту солитонов нелинейного уравнения Шрёдингера. Для изучения
этого явления я использую мо-
р = 1со/г2{
со2 - gkT, Т - th kh, S = sech kh, 9Г4- ЮГ2+ 9 1
8Г4 g/г-со'2 ^
X
2 I
Глава i
дель Лэраза и Паттермана (препринт), которые заметили, ЧТО в этой задаче
получается НУШ и, следовательно, решения со-литонного типа возможны.
Однако опять они не поняли, что эти решения неизбежны. Рассмотрим
уравнение
"о = (А (X, Т) е~ш + (*)) cos ky,
их = В (X, Т) + {А2е~2Ш- + В2 + А;<?ш) cos 2ky,
где мы выбрали k(=ky) и со такими, чтобы
со2 = c2k2 + yk4 - е2% = co2j - ш2%.
Мы так подберем зависимость от времени А(х, Т), где X - гх,
и В(Х,Т), чтобы исключить секулярные добавки, пропорциональные е'е и е° в
щ, U2 и ц3 соответственно. Несложное вычисление показывает, что f\ = 0
(нулевая групповая скорость {da/dkx) (0, ktJ) в направлении слабой
модуляции), и
Как и в примере (iii), к правой части последнего уравнения можно добавить
(-а/с2) {д2/дТ2) АА*, поскольку этот член порядка 0(е2), и получить
ин - с2У/2и + \'V4" = eV2(а"2), 0 <е < 1
с
Т - et,
Ат - Л + + • • •
Втт °2Вхх - а~дх*~ ^ ^
В(Х, Т) = -$гАА',
и если т = еТ, то
2шА% + с2Ахх + (а2k2fiAA' - %) А = О
с
6\k! с2 +
Вывод уравнения Кортевега - де Фриза 73
Если у положительно, то положительно и р. Сделаем несколько замечаний.
(a) Поскольку произведение дисперсии (в направлении модуляции х) на р
положительно, асимптотическое состояние состоит из солитонов вида
(2.51а).
(b) Двигаться они могут (т. е. v ф 0) только при некотором специальном
виде неоднородности начальных условий или при приложении внешних сил. Их
скорости не зависят от их амплитуд. Их положения и амплитуды находятся из
начальных условий.
(c) Параметр у устраняется просто изменением фазы А. А теперь -
предостережение. В эксперименте By, Кесляна и Рудника волны возбуждались
непрерывно из-за диссипации, в отсутствие которой можно было бы, создав
начальное возмущение самой низкой моды, предоставить его самому себе. Это
означает, что в правую часть НУШ нужно добавить члены, соответствующие
возбуждению и затуханию, т. е. Е - ГЛ. (Если устранить расстройку частоты
-уА, Е приобретает фазовый множитель еш, A=(iy/2a)e2.) Отклик возмущаемой
диссипативной системы может состоять просто в порождении солитонов с
некоторой фиксированной амплитудой (см. [45]). Однако возможны и другие
отклики, зависящие от ? и Г. Я не собираюсь обсуждать их здесь, а отсылаю
интересующегося читателя к статье Бишопа, Фессера, Ломдаля и Траллинджера
(Physica D, 7 (1983), р. 259), в которой изучается влияние внешней силы
на бризер уравнения sin-Гордон. Бризеры малой амплитуды для этого
уравнения - это солитоны НУШ.
(v) utt - с-ихх + со2 (г2х) и = е2уи3 • у, с2 - постоянные. Нас
интересует пространственная эволюция волнового пакета. Соответствующие
координаты -
ЛГ! = ел:, Х2 = г2х, /,•- T = et,
