Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
обратной задачи рассеяния, используемый при решении начальной задачи на
интервале -оо <; х <; оо для членов КдФ-иерархии. В разд. 3g мы займемся
методами возмущений и весьма подробно разберем задачу о распространении
уединенной волны по каналу уменьшающейся глубины. У этой задачи много
нетривиальных свойств, и, как оказалось, справиться с ней довольно
трудно. Наконец, в разд. ЗЬ мы обсудим методы построения многосолитонных,
рациональных и многофазных периодических решений солитонных уравнений.
ЗЬ. КдФ-иерархия. Первая цель этого раздела - продемонстрировать, как
получаются семейства солитонных уравнений. Вторая - показать, в каком
смысле каждый из потоков гамильтонов. Третья - ввести некоторые важные
асимптотические разложения, коэффициенты которых - интегралы движения,
пропорциональные гамильтонианам.
Для вывода семейств уравнений мы используем следующий алгоритм:
(i) выберем задачу на собственные значения (по х), коэффициенты которой
зависят от другой переменной t\
(И) выберем общий вид изменения собственных функций при эволюции
коэффициентов по t\
(iii) запишем условие разрешимости этих двух уравнений и определим, какие
эволюционные уравнения совместимы с этим условием.
Мы проиллюстрируем всю процедуру на семействе уравнения КдФ. Как мы уже
видели в гл. 1, соответствующая задача на собственные значения - это
уравнение Шрёдингера
vxx + + Я (х, t)h> = О,
(3.1)
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 95
которое может быть записано также в виде системы первого порядка:
Vix + iiv, = q {х, t) v2,
v2x - it,v 2=-vu v2 = v, % = ?.
Запишем зависимость v от t в виде
vt = A{l\ q, qx, ...)v - B{X\ q, qx, ...)vx. (3.3)
Зависимость от высших производных v учитывается посредством зависимости А
и В от к. Дифференцируя перекрестно (3.1) и (3.3), вычитая и приравнивая
нулю коэффициенты при v и vx, получаем
А = -у- Вх + const, (3.4)
qt - MB - 2XNB, (3.5)
где
M = D3 + 4qD + 2qx, N^D = ^. (3.6)
Теперь мы переходим ко второй половине части (iii) алгоритма.
Вспомним, что наша цель - найти такие функции В(Х\ q, qx,
qxx, ¦¦¦), что условие разрешимости (3.1) и (3.3), а именно (3.5),
представляет собой эволюционное уравнение вида
9< = 9<(91 9х> qxxi ¦••)•
Достаточно простым классом таких функций В является класс полиномов
В = ВоХп+ ... +Вп, (3.7)
поскольку из (3.5) В0х = 0, и посредством сравнения соседних степеней %
каждое Bk+l можно выразить явно через его ближайшего левого соседа Вк.
Без потери общности мы можем принять Во == -1 и найти
NBk+l = -±MBk, ft = 0, 1, ..., л-1. (3.8)
Тогда при Х° получаем
qt = -±MBa = 2NBa + 1, (3.9)
где мы определили Вп+[ равенством
NBa+l = -±MBa. (3.10)
96
Глава >i
Мы можем записать
M = -4NL,
(3.11)
где
X
L - -\~D~ - q -{"y J dxqx
(3.12)
- нелокальный оператор.
Проделаем некоторые вычисления. Заметим, что Вп+1 -
- LBn-{- const. Про константу пока забудем. Тогда
где мы предположили, что q вместе со всеми производными обращается в нуль
в точке х = оо. В результате получаем уравнения
где мы приписали (2/г+ 1)-му потоку с линейным дисперсионным соотношением
со(?) = -2(k/2)2n+\ п = 0, 1, 2, ..., временную координату t2n+i-
Константы в Вк с k < п просто добавляют к п-му потоку члены,
пропорциональные k-м потокам. Полагая все эти константы нулями, мы
получим то, что называется "чистым" семейством. Константа же в (3.4)
имеет совершенно другую природу. Выбирая ее, мы можем надлежащим образом
нормировать собственную функцию v(x, t\ ?). Мы сделаем это в разд. Зс.
Каждый поток имеет гамильтонову структуру. Сейчас я перехожу к наиболее
важному результату, а именно к гамильто-новости каждого из потоков
семейства. В разд. 3f будет доказано, что справедлива формула
В\ - LBq - "2*(7>
В2 = y Lq = - -i- (qxx + 3q2),
Вз = ~2 L q - -gjj- (qXXxx + §qx -(- 1 Oqqxx -(- 10<73),
(3.13)
Ян = Qx,
Ян = - \ {qXx + 3<73K,
Ян. = -jV (Яхххх + 5<7* + 10qqxx + 10qT)x,
(3.14)
(3.15)
(3.16)
(3.17)
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 97
где вариационная производная по q определяется как
у* f d \п дН (qw)
L \ dx) да{п> >
то есть
где
dq'
е-*0
Например,
qW = Dnq, D = d/dx,
оо
H[q]= \ Н {q, qx, qxx> ...)dx.
- ОО
оо оо
5 q dx, Я3 = -|- J (ql - 2q3)dx,
(3.19)
- oo
и их вариационные производные суть q и -у (qxx + 3<72) соответственно.
Таким образом, поток с п = 0, соответствующий просто переносу начального
профиля, может быть записан в виде
"<. = *.=-|гтГ' <3-20>
поток КдФ, п= 1, можно записать как
а (2п+ 1)-й поток семейства - как
qt, , = 4~ -б^2п±1 = N , (3.22)
* 2п+1 дя oq 6q
Или, используя (3.11), получим
?<>"+, ""(-ттг1)' <323)
поскольку 6H2n+i/Sq = 25"+i = 2LBn, a 2NLBn = - (1/2)МВп = = -
(l/4)M(8H2n-i/8q). Отметим, что каждый поток имеет вид
</( = /УЯ, (3.24)
где J - кососимметричный оператор, V - градиент, а Я - функционал
Гамильтона.
4 А. Ныоэ^.
98
Глава 3
Замечательно, что каждый из функционалов Н2п+ь п== = 0, 1, ...,
порождающих соответствующий поток, является интегралом движения для всех
