Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Солитоны в математике и физике" -> 36

Солитоны в математике и физике - Николис Дж.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике — М.: Мир, 1990. — 323 c.
Скачать (прямая ссылка): solitonivmatematikeifizike1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 113 >> Следующая

Необходимое условие (2.86) 2л-периодичности V таково:

\fe-Rd@ = 0. (2.87)
о
Теперь решим (2.83) вариацией постоянных:
/ 0 \
О (0) = - j- $ (k + -L e/e). /frfej(0) +
+ (c2 + -^\fe- R(tojv.A8). (2.88)
Налагая условие 2я-периодичностн и (в), получаем

c'=ik\(f'+-keh)R,,e- (2-89)
о
Следовательно, при таком выборе с2 асимптотический ряд (2.77с) остается
хорошо упорядоченным (это означает, что отношения соседних членов
остаются порядка е при всех значениях параметров) и условие (2.87)
является как необходимым.
вывод уравнения Кортевега - де Фриза 89
Гак и достаточным. Применяя это к (2.78Ь), получаем
;2Л -'Л
W<*\llde + ?b\flde, (2.90)
и и
условие сохранения волнового действия, аналогичное (2.66). Поскольку /(0)
нечетна, член с g(1) равен нулю.
Что происходит, когда параметр Ев} становится малым? Несложное вычисление
показывает, что в пределе малой амплитуды
/ (0) = A sin 0 -+- -Tj- уЛа sin 30 + ..., (2.91а)
?=1_|уЛ2 + ... , (2.91 Ь)
? = |л2 + .... (2.91с)
Теперь обратимся к с2 и, в частности, вычислим его величину в случае,
когда в качестве R в R2 взят член - (d2/dt2- д2/дх2)}. Мы заметим, что /g
+ 0/e/2gssMgsin0 порядка Л-1, поскольку gA! = О (1). Так же и Eg = ЕА2 •
(A2) g-= 2
= - -д-у+ •••• Поэтому С2 порядка 1/Л и такого же порядка
получающееся решение н(2). Это означает, что предельный переход к Л =
0(e) в (2.77с) не является равномерным.
Для того чтобы все-таки уловить как-нибудь поведение в этом случае, мы не
будем использовать с2 для условия 2я-перио-дичности у(0), а лучше
используем g(2K Мы потребуем
S +ж).(- ё'э," -(¦?-- -&)Ат -0
(член и(1> не вносит вклада сравнимой величины) и получим, используя
(2.91), что
&*> = + -z(Att-Axx). (2.92)
Теперь дисперсионное соотношение
"о* _ k2= 1 - уЛ2 + -J- (Аи - Ахх) + ... (2.93)
имеет в точности тот же вид, что и в (2.68), и предельный переход к НУШ
получается из (2.90) и (2.93) точно так же, как и раньше.
Хотя теория Уизема не содержит всего НУШ, она содержит достаточно для
проявления неустойчивости Бенджамина -
SO Глава 2
Фейра. При Л2, определяемом дисперсионным соотношением, уравнения (2.59)
и (2.66) представляют собой систему первого порядка с k и со в качестве
неизвестных. Если эта система эллиптична, задача Коши для нее некорректна
в том смысле, что любое возмущение растет экспоненциально и быстрее всего
растут самые короткие волны. Если мы запишем 0 как 0/е и разрешим (2.59),
полагая & - 0*, со = -0/, то из (2.66) получим (-0*Л2)< + (0ЛЛ2)Л = 0,
где Л2 зависит от х и t посредством комбинации 1 - Щ - 02. Имеем
0" (- * - Щ тг) + 29"А9, т + 9,, (л! - Ч-Щ ) ¦= о.
(2.94)
Система эллиптична и неустойчива, если
Л2(Л2 + 2/^)<0, (2.95)
где
Для малых Л это осуществляется, когда {5 > 0 или |Jco" > О, поскольку со"
= (со2 - ?2)/со2 всегда положительно. Поскольку теория Уизема не включает
члена Л^^, входящего в (2.56), она не способна указать наиболее быстро
растущие побочные гармоники несущей волны, а также не предсказывает
конечную область неустойчивых волновых чисел. С другой стороны, однако,
ее сильная сторона в том, что она не ограничивается малыми амплитудами.
Мы закончим этот раздел вопросом о физических следствиях нелинейного
дисперсионного соотношения. В частности, нас будет интересовать, могут ли
нелинейные волны туннелировать. Представим себе, что мы создали цуг волн
с амплитудой Л и частотой со в среде, в которой сор медленно меняется.
Тогда k(x) определяется из
?2 = со2-со2(1 _рл2).
Предположим вначале, что со2 > со2, но что со2 растет (маятники в модели
Скотта становятся короче). Линейные волны не могут распространяться
дальше точки, в которой сор = со. Однако если р > 0, то точка, в которой
со2 (1 - Л2) = со2, расположена дальше, чем каустика линейных волн.
Означает ли это, что нелинейные цуги волн могут без потерь туннелировать
через барьеры, непрозрачные для линейных волн? Ответ одновременно и
положительный, и отрицательный. Он отрицателен, поскольку
Вывод уравнения Кортевега - де Фриза 91
только что мы показали, по крайней мере в слабо нелинейном пределе, что
монохроматический нелинейный цуг волн неустойчив, если Р > 0. Однако он
распадается на импульсы - соли-тоны НУШ, которые действительно могут
туннелировать без потерь. Дальнейшие детали читатель может найти в [52].
При больших амплитудах (2.95) принимает вид ЗЛ2-2/р<0. Поэтому, хотя р >
0, для волн достаточно большой амплитуды устойчивость восстанавливается.
Остается много интересных вопросов в случае гиперболичности уравнений
Уизема, но в то же время уже сделано несколько прекрасных работ. Смотрите
книгу Уизема [55], прекрасную и изящную статью Флашки, Фореста и
Маклохлина [65] (они обнаружили, что инварианты Римана - это просто
спектр периодической задачи КдФ) и интригующую работу Лакса и Ливермора
[66]. Принципиальными среди этих вопросов являются вопросы поведения этих
систем на больших временах. Возникают ли разрывы? Если возникают, то что
они означают? Как включать новые фазы? (В работе Лакса и Ливермора
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed