Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
остальных потоков, и эти интегралы коммутируют друг с другом относительно
естественной скобки Пуассона (Гарднер [13]):
<f. °1= \ъгтгъгЛх- (3-25)
- ОО
Естественность этой скобки состоит в том, что если мы рассматриваем
развитие q под действием потока с временем t2k+ь то скорость изменения
I\q\ функционала от q,
оо
i[q]= \ Пя> qx, Яхх, • • -)dx,
- оо
определяется из равенства
-jT- = {H,k+u /}• (3.26)
af2* + l
Все это означает, что q можно рассматривать как функцию бесконечного
числа независимых переменных х, t2k+ь k - 0, 1, ..., и {d/dt2i+i)
{dq/dt2k+\) = (d/dt2k+i) {dq/dt2i+i). Представление о том, что решения
солитонных уравнений - это функции бесконечного числа переменных, очень
важно. Вследствие свойства коммутативности можно начать с q(x, 0),
сдвинуться на t2k+1 в силу (КдФЬм-ь а потом на /2/+1 в силу (КдФ)2/+1, и
результат будет такой же, если осуществлять сдвиги в обратном порядке.
Заметьте, что каждый поток имеет две гамильтоновы структуры. Выражение
для qt можно получить, используя в качестве функционала Гамильтона Н2п+\
и Я в качестве оператора Пуассона, а можно - используя H2n-i и М. Такая
дуальная структура существует во всех интегрируемых моделях, и она
позволяет рекуррентным образом идентифицировать все интегрируемые потоки
в семействе точно так, как мы это уже делали, используя (3.10). Если даны
две независимые симплектические структуры М, N и гамильтониан Ни
генерирующий поток, определяемый NHU то следующий поток возникает из ^-
МН^
(КдФ)- Мы записываем это в виде NH3, затем строим следующий поток \-МН3 и
т. д.
Теперь я покажу, как получаются эти функционалы, но отложу до разд. 3f
доказательство того, что они интегралы дви-
Семейства солитонных уравнений и методы их решения
99
жения. Замечу только, что если поток рассматривается при периодических
граничных условиях по х, то интеграл в (3.25) берется по периоду.
Асимптотическое разложение для v(x, ?) при ?->оо. Алгоритм построения
интегралов движения состоит в следующем.
Положим для собственной функции v(x, t\ %) задачи (3.1) v =
- е%Х+Ф^ рде
-2i&bx = q + (r)xx + ФI, (3.27)
и будем искать ее асимптотическое разложение при ?->">. Итерациями
получаем для Ф*:
00
ф* ^ X (21%)п Rп'
1
откуда получаем R\ --q и рекуррентное соотношение
л-1
^л+i = - RnX - 2 RkRn-k> ti^i. (3.28)
ft=l
Первые пять членов имеют вид R{ - ~q, R2 = qx, R3 - -Qxx -
- ?2. Ri = qxxx + 4qqx> #5 = - {qxx + 3q2)xx + q2x - 2?3. в частности, по
причинам, указанным в разделах Зе, f, нас будут интересовать величины
X
ilx ~ 1 - -щ \q(y)dy (3.29а)
ve
и
lim (v2 - -щ-v^e tlx ? -щуг J Rndx. (3.29b)
°° 1-00
Первая позволяет получить q(x) из v(x, а вторая ока-
зывается интегралом движения (движения по всем временам ^2я-и). Вспомним,
что v2~v, Vi=-vx-\-it,v (см. (3.2)). В качестве упражнения я попрошу вас
связать этот результат с тем, который получается из преобразования Миуры
- Гарднера (разд. Id). Мы покажем, что
00
Нзя+1= *2л+з \ Rzn+idx, п = О, 1, 2.......... (3.30)
4*
100 Глава 3
Отметим, что Rx не является членом этого семейства и что
оо
^ R2n dx = 0, п = 1, ....Действительно, функционал - у Н_х =
- оо
оо
= ^ qdx имеет нулевую скобку Пуассона с любым другим
- оо
функционалом (положите К = Я_[ в (3.25)). Такой функционал называется
функционалом Казимира.
Упражнения ЗЬ
1. Пользуясь определением (3.25), покажите, что эта скобка Пуассона
удовлетворяет тождеству Якоби {{К, G}, Я} +
+ {{Я, F}, G} + {{G, Я},К} = 0.
2. Вспомните, что в (1.18) мы определяли w + 3/е2 = = (6i/e)vx/v и
получали vXx + (<7+ 1/4е2)и = 0. Отождествите Е; с -1/2е и покажите, что
w=-121^((ох/о)- i?) = -12/^Фл;. Поэтому сохраняющиеся плотности уравнения
КдФ, введенные
оо
в гл. 1, имеют вид ^ Rndx и пропорциональны гамильтониа-
- оо
нам. Другие члены иерархии КдФ приводит нас к тем же сохраняющимся
величинам.
3. На первый взгляд это упражнение может показаться бессмысленным. Но
поверьте мне на слово, смысл есть. Мы вернемся к используемым в нем идеям
в гл. 4. Положите
д2
q(x, t3, .. .) = 2-gp-\nx(x, t3, t5, ...) и покажите, что с точностью до
0(1Д5)
е =ехр(1пт(л: /3 - 3(.^3, t5 щ?, •••)"
- In т (х, t3, t5, ...))
и что асимптотически
.. / .. jtx+uph+ilHs х (х - 1 /t?, i3 - l/3?3, • • •)
У (Х' ~е х(х, h, h, ...) *
Указание: нужно записать
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 101
и воспользоваться тем, что
S ('"•=2irlnT-
- ОО ¦-оо
4. Покажите, что из (3.1), (3.3) с А = -^-Вх, В = - Л + -у<7 получается
vt = -оххх - -у qvx - х <lxV.
5. Произведите следующие формальные выкладки. Пусть
L = D -(- ctiD * -(- #2D 2 -(- ... , где D - д/дх и Z)"*1 - формальный
интегральный оператор
X
^ dx. Определим B" = (L")+, что обозначает дифференциальную
часть L". Например, (L)+ = Z), (L2)+ = D2 + 2аь (L3)+ = D3 + + За^ + 3Dai
+ За2- Рассмотрим иерархию уравнений
vXn =Bnv, п = 2, 3, 4, 5,---------
Условие их разрешимости есть
(Вп)Хт-(Вт)хп + [Вп, Вт] = 0. (А)
Случай (i). Предположим, что коэффициенты а\, а2 не зави-сят от х2, и в
