Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
таком случае можно положить v->е 1 • v и заменить vX2 - B2v на Ао = B2v.
Покажите, что тогда (А) дает а2 - = - (l/2)au и
(2a,k - у (2ai) (2aib -1" (2fli)", = 0.
Заметьте, что если мы обозначим х3 = -/, то vXl = B3v в точности является
формой уравнения vt = Bv в последнем упражнении.
Случай (И). Пусть а\, а2 не зависят от л'3. Тогда
1 г 1 f г 3
^2- 2 2 J + С, 2 GllxiXi
2" (r) (alau);c = 0.
Положим й! = 4-(<7 - с2/2) и придем к уравнению Буссинеска
(2.26)
4*2*2 c2Qxx - з" Яхххх 2 (qqx)x.
102 Глава 3
Случай (iii). Наконец, пусть щ, а2 зависят от х, х2 и х3. Теперь вы
должны получить
что после надлежащих преобразований превращается в уравнение КП (2.27).
Замечание 1. Система vXn = Bnv, п== 2, 3, ... порождает иерархию
уравнений КП. Интересующийся читатель может найти обсуждение
алгебраической структуры т-функции этого семейства в [39].
Замечание 2. Для случая КдФ(0 начальная краевая задача решается в
основном исходя из задачи на собственные значения Xv = B2v, и уравнение
vX3 - B3v используется для определения зависимости данных рассеяния от
х3. В случае уравнения Бус-синеска (ii) задача на собственные значения Xv
= B3v имеет третий порядок. Эволюция данных рассеяния этой задачи по х2
находится из vXl = B2v. В случае (iii) все оказывается совсем не так
просто. В этом случае вообще нет задачи на собственные значения! Вместо
этого нужно решать двумерную задачу рассеяния vX2 - vxx -f- q (x, x2,
x3)v. Читатель может обратиться к трудам Киевской конференции 1983 г.
[124], в особенности к работам Абловица, Фокаша и Захарова, Манакова, в
которых имеются необходимые ссылки.
Зс. АКНС-иерархия и ее свойства [23]. Сейчас мы начнем с другой задачи на
собственные значения, обобщающей задачу, введенную Захаровым и Шабатом
[21] при изучении НУШ:
Какие эволюционные системы уравнений могут быть решены с использованием
(3.31)? Если q к г зависят от t, то пусть
(3.31)
(3.32)
Условие разрешимости (3.31) и (3.32) имеет вид
/**-<2* +[Л Q] = 0.
(3.33)
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 103
где [Р, Q] - это матричный коммутатор PQ - QP. Записывая
(3.33) поэлементно, получаем
hx - qf re, ех + 2 xge = qt - 2 hq,
fx-2(r) = rt + 2hr. ^
Мы будем искать Q в виде полинома степени п (и обозначать такое Q как
Q<n), а соответствующее время - как t"). Для удобства вычислений введем
матрицы
/1 0 \ /0 1\ /0 0N
" = (о -1> ?"1о 0> F = (l 0> <3-35>
удовлетворяющие коммутационным соотношениям алгебры sl(2)>)
[Я, Е\ = 2Е, [Я, F] = -2F, [Е, К] = Я. (3.36)
Здесь эта алгебра просто удобна нам для вычислений, но в гл. 5 мы увидим,
что она играет центральную роль во всей теории. Мы ищем решения (3.33) в
виде
Q<"> = -iHC + QiC~l (3.37)
где P = Q(1> = - iH% + qE + rF, Qk = hkH + ekE + fkF. Компоненты вк и fk
перед E и F в Qk определяются из членов при ?"-*+1, а диагональная
компонента hk находится из членов при t,n~k. Приведем несколько первичных
матриц. Имеем
Qo=-iH,
М,° ?)¦
1- {qrx - qxr) - 4- (qxx - 2<7V)N _1_
4
4 \4'x 4x< / 4
- -г (rxX - zqr2) т ^rx - qxr)
(3.38)
+ S).Q"] = o (3.39)
') Эти матрицы называются базисом Вейля алгебры si(2). - Прим. перев.
104 Глава 3
является эволюционным относительно q и г. Потоки, соответствующие п = 0,
1, 2, 3, имеют вид
qu = -Щ, г и = 2 ir (3.40а)
с
Q<0)=-iH; (3.40b)
ru=rx (3.41а)
с
Q(1) = _/Я? + qE + r?; (3.41b)
Фг = 4" - 2?2r)> ru = --T- (fxx - 2qr2) (3.42a)
Q(2> = -*Я?2 + ? (qE + r?) - if - Я + \ rxF\ (3.42b)
qt, = - -Г (?*** - 6?r?x), ru = - 4- (rxjeje - 6?rr*) (3.43a)
с
Q(S) = _/Я?> + г;2 (qE + r?) + g ( - -if - Я + qxE --^У) "
- -г for, - qxr) H j- fo" - 2?2r) ? - 4- (r,, - 2?r2) ?. (3.43b)
Нулевой поток (^0) соответствует такому преобразованию координат, при
котором остается неизменным qr\ следующий (^) поток- это перенос; второй
(^). с самосогласованной редукцией г = ±<7*, - это НУШ, третий (^3), с
самосогласованной редукцией г = ±q, - это мКдФ. Отметим, что Q(fc) для
всех потоков tk с k п конгруэнтны в том смысле, что Q(fc+'> = ?Q(fc) +
Qh-ь k = Q, 1, ..., (л-1).
Справедливы следующие результаты, которые, однако, в таком формализме
доказать непросто.
(i) Все уравнения Ptn = Q(x] + [<2(гг), Р] коммутируют, т. е. Pt"tm -
Ptmt"-
пт т п
(И) Все эти уравнения гамильтоновы. Существуют некие функционалы {?"}о°,
такие что
^ = (3-44)
оо
например, для п = 2, ?2 = -(i'/2) ^ (qxrxq2r2) dx.
Семейства солитонных уравнений и методы их решения
105
(iii) Все Fn являются интегралами от неких полиномов Fn от q, г и их
производных по х; Fn удовлетворяют соотношениям вида
dFп dGni
~Щ~= дх ' tt = 0> 2> •••> (3.45)
которые называются законами сохранения. Fn называется сохраняющейся
плотностью, a Gnj - потоком. Все Fn, как и для иерархии КдФ, обычно
находятся асимптотическим по Е; разложением нескольких функционалов. В
гл. 5 я получу для Gnj выражения, локальные по q, г и их производным.
Сейчас я хочу сделать несколько замечаний. Во-первых, все эти результаты
мы получим с единой точки зрения в гл. 5. Во-вторых, для уравнений
