Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
"о = ае,в + (*), Q-^kdx - at,
Ь2 "'-*,№)
С*
Отметим, что
____ = е'е (- k2a + 2 ikeaXi + е2 (2 ikaXj + ах,х, + &х2а)) + (* )•
В порядке е
74
Глава 2
где k' = 1/(c)' = dk/dm. В порядке е2 мы получим
В качестве дополнительного упражнения преобразуйте это уравнение к
каноническому виду qx- iqee = 2iq2q* - T(kx/k)q. Что такое Г, т, 0, q?
Подробности см. в [52].
(vi) Уравнение для огибающей неустойчивой волны. Предположим, что L в
(2.39) зависит от параметра R таким образом, что волновое решение и (х/,
t) ~ е (klxl~at), а = (c) - iv растет или затухает в зависимости от R ^ Rc.
Параметры v и (c) как функции k; и R задаются комплексным алгебраическим
уравнением L(-/(c) + v, kj, R) = 0. Критическая поверхность - это
поверхность в пространстве kj, R, соответствующая у = 0. Критические
значения kj и R - те точки на этой поверхности, при которых R минимально.
Это наименьшее значение параметра, при котором решения волнового типа
растут. Используйте идеи этого раздела и покажите, что (медленно
меняющаяся) огибающая А (х/, t) растущей волны подчиняется комплексному
уравнению
Исходное поле запишем как ы(х, t) = еЛ (х, t) -exp(ikcA: - - i(c)(/?c)0 +
(*)+0(е2), R = Rc (1 + в2х) и кс - один из критических векторов,
соответствующих R - Rc. (Часто вследствие симметрии исходной системы
критический вектор вырожден; например, задача о конвекции между двумя
бесконечными горизонтальными плоскостями имеет вращательную симметрию.)
Коэффициенты в уравнении для огибающей оцениваются в точке ко Замечания,
аналогичные сделанным в этом разделе о необходимости учета возбуждения
среднего течения малыми градиентами АА*, верны и в этой задаче.
После того как вы прочитаете следующий раздел о неустойчивости Бенджамина
- Фейра, покажите, что пространственно однородное решение (рассмотрите
одномерную ситуацию)
з
= {ж - 1w) RcXA -(р' + г'р'} лм*-
неустойчиво в смысле Бенджамина - Фейра, если
Pm + Pm < о,
Вывод уравнения Кортевега - де Фриза 75
где
( д2и> Л ( dv d2R Л
Y,'~ I'aF'A' Yr"latf~dF'Jc'
Подробности см. в [127].
2d. Неустойчивость Бенджамина-Фейра. Вспомним, что наше волновое поле
и(х, t) имеет вид
и (х, t) = ае' _)_(*)_ (о0 = со0 (&0),
где а - функция от 1 = г(х-coV) и T = e2t, удовлетворяющая
//
ат -г -<р ац + фа2а*. (2.52)
Запишем а = Ае'У. Естественно определить локальное волновое число k как
производную по х и локальную частоту как взятую с обратным знаком
производную по Т от полной фазы 0 - kax - - tooТ + ср(?, Т):
k = k0 +tup v со = (о0 + е(c)'ф6 - е2фГ.
Отметим соотношение
kT + <ax = - <о'е2фц + е2ф5Г + е2со'фй - е3фг5, (2.53)
выражающее сохранение числа волн. Запишем изменение волнового числа еф?
как еК• Тогда мнимая часть (2.52) дает
*r = -T-(4jt-*,) + M,>
и, дифференцируя по получаем
// -
кт + (О "КК% = Рр4 + . (2.54а)
где р = А2. Уравнение (2.54а) - это то же уравнение сохранения числа волн
(2.53), поскольку
со = со0 + есо'/С + е2 (-J- со'7С - М2 -
(напомним, что d/dt = е2 д/дТ - есо' д/дЬ, д/дх = г д/дЩ.
С другой стороны, вещественная часть (2.52)
(Л*)г + <(Л^)6"0 (2.54Ь)
есть уравнение сохранения волнового действия.
76 Глава 2
Далее, рассмотрим монохроматическое решение
Л = Л0, ф = М^ + const, (2.55)
для которого
k = k0, ш = го0 - рЛ2е2.
Это - волна Стокса. Проверим ее линейную устойчивость, полагая Л = Л0 +
Л, К = К, и из (2.54) получим
*г = 2Мо^ + -^%,
ft
соп
Лг =------- Лц/Cj,
или
Атт - - Рсо0 Л^Л " - Л^^.
Поэтому если Л ~ То
а2 = рш"Ло^2--Т"^4-
и поэтому если р<"" > 0, то решение (2.55) всегда неустойчиво по
отношению к длинноволновым возмущениям из интервала волновых чисел 0 <
/С2 < 4рЛ2го''. Максимальная скорость роста осуществляется, когда К2
=^2$АЦа>''t и равна Р2Л2. Читателю следует прочесть работу [59] Лэйка,
Юэна, Рюнгальдье и Фергюсона, изучавших эту неустойчивость
экспериментально для волн на воде. Следует прочесть также оригинальную
статью Бенджамина и Фейра [51].
Причину этой неустойчивости можно понять следующим образом. Представим
себе монохроматическую волну постоянной амплитуды Л0 с частотой го0 -
рЛ2е2, возмущенную в точке Р так, что амплитуда в точке Р меньше Л0.
Пусть р > 0. Тогда ш в точке Р больше, чем го слева от Р. Следовательно,
в этой области со* > 0 и вследствие сохранения волн kt < 0.
Следовательно, k уменьшается, и если го" > 0, то го' также уменьшается.
Справа от Р го' возрастает. Следовательно, области слева и справа от Р
продолжают разделяться и амплитуда возмущения возрастает. При (ко" < 0
возмущение ограничено и со временем затухает.
Итак, что же происходит с цугом поверхностных гравитационных волн,
возбуждаемым в точке 5 волнопродуктором с почти постоянной частотой го?
Если k,h> 1.36, то pro" > 0 (см.
(2.56а)
(2.56Ь)
Вывод уравнения Кортевега - де Фриза 77
упражнение 2с(2) (и)) и монохроматический цуг волн неустойчив. При
принятой нами постановке задачи лучше всего изучать эволюцию а по X = е2х
в зависимости от Т = e{t - х/со'). Если время действия волнопродуктора
