Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
алгоритмом многомасштабных разложений L(d/dt, д/дх) формально принимает
вид
1{~§Г + г~5Т7 + е2~?7' Ж + гж)==
= 1 ж) + 8 (L' Ж/ + 12 ж-) +
+etLI^+iL11^f+LI2^+7L^)+ •••' (2-45)
что мы будем записывать в виде И0) + eL(1) + e2L<2>. Решая (2.39)
итерациями, получаем
Lm(if irb=° <2-46>
с решением
и0 = а(X, Ть Т2, .. ,)е'(**-•*> + (*) (2.47)
и со и к, удовлетворяющими (2.41). В следующем порядке 0(e) Т<°Ц = - U\ +
N (и2). (2.48)
Какие здесь члены секулярные? Это те члены в правой части
(2.48), которые приводят к решению щ, алгебраически растущему по х или t.
Их можно отличить по тому, что их структура
3 А Ньюэлл
66 Глава 2
по х и t принадлежит ядру оператора L(0). Например, L(1,"o принадлежит к
такому классу, если L<0)L(1)"0 = L(1)L(0)Uo. Какие члены в N (и-;)
являются секулярнымн? Член и\ содержит вторую гармонику a2 exp2i(kx - at)
и средний член аа*. Но поскольку дисперсия сильная, то почти для всех k
справедливо a{2k)^2a{k), и поэтому /,(<>>.Ф 0. Однако средний член аа*
может принадлежать ядру Если это так и N ("2) ф 0, то в решение нулевого
приближения ц0 необходимо включить средний член, медленно меняющийся по х
и t. В такой ситуации "волна" е(0) является третьей участницей триады в
трехволновом резонансе (см. разд. 2f).
Чаще бывает, что N-aa* в этом порядке равно нулю. Это происходит из-за
того, что уравнение имеет внутренние симметрии типа галилеевой
инвариантности, что делает невозможным просто добавлять средний поток. (В
качестве примера такого N можно представлять себе д/дх.) С другой
стороны, вследствие медленной зависимости огибающей от х локальные
средние потоки типа е2(д/дХ)аа* могут возникать и, если их не удалить,
вызывать секулярный отклик в порядке е2 в и2. Такой член не нарушает
никаких глобальных законов сохранения. Он может на каком-то участке
повысить среднее значение, на каком-то наоборот, так что полная "масса"
системы не меняется. Я, однако, делаю акцент на возможном присутствии
этого члена, так как иногда его очень легко упустить. Для учета этого
эффекта от среднего мы должны включить однородное решение Ь в щ (или
просто в "о, но в порядке е - это то же самое). Этот средний член Ь затем
влияет на возможное секулярное поведение е1(~кх~<л1) в и2 на уровне 0(е2)
из-за квадратичного члена N(uoUi). Устраняя в этом порядке секулярные
члены, получаем систему связанных уравнений на огибающую а и медленно
меняющееся среднее Ь. Иногда Ь можно выразить в виде величины аа*,
умноженной на константу, иногда нет. Мы встретимся с обоими этими
случаями в упражнениях, и я укажу на три конкретных физических примера,
где эти эффекты важны.
Сейчас давайте предположим, что среднее течение не принадлежит к ядру
L(0), что выполняется, например, в случае, если L - d2jdt2- c2d2jdx2 +
ю2. Тогда единственным секулярным членом в (2.48) будет L^uo, и поэтому
мы должны так выбрать зависимость а от X и Ть чтобы
L(1)"o = 0, а именно
т да , , да ___"
dTt + L2 дХ ~ U*
Однако из (2.42) L2 = н если L\ ф 0 (что мы предпола-
гаем), то
а = а(Х-а'Ти Т2). (2.49)
Вывод уравнения Кортевега - де Фриза 67
Дальше мы находим щ, содержащее вторые гармоники и, возможно, средний
член, пропорциональный аа*. В порядке е2 се-кулярные члены, нелинейные по
а и а*, возникают из квадратичного произведения "о"1 и кубичного члена
и\. Это приводит к появлению члена, который мы запишем как $L\a2a*.
Линейные секулярные члены имеют вид L(2)"o, что с учетом (2.49) может
быть записано как произведение expf(&x- соt) на
.да . /1/2, /г ,1,4 д2а
+ Lu~(r) L'2 + '2L22)~dX*-
Однако с учетом (2.43) это равно
. / да . а>" д2а 4
1 \ дТ1 1 ~2"дХг)'
и поэтому универсальный вид НУШ таков:
да д^а i "о 9 * /л сл \
-д^== - -щг+фа2а . (2.50а)
При большем числе пространственных измерений я оставляю в качестве
упражнения показать, что (опять предполагая среднее несекулярным)
да i тч д2Ф д2а ;0л2 •
~~ TL dkfdks d\rd\s -lPaa>
где д2а> /dkrdks - дисперсионный тензор, ?r = e(x,- со Л) и сог = =
d<s)/dkr - компонента (вектора) групповой скорости в направлении хт.
Я сейчас хочу сказать, а также подчеркну приведенным в упражнениях
примером, что х и t взаимозаменяемы. Мы точно так же можем
искать решение в виде a{e,{t - k'x), е,2х)
с k' = dk/d(o - \/{дф/dk), и тогда коэффициент дисперсии'бу-
дет ik"/2. Такая формулировка удобна, когда один или оба параметра с2 и
со2 (например, крутильная жесткость проволоки, связывающей маятники, или
их длина в исходном примере) медленно меняются в зависимости от х.
Уравнение (2.50а) принадлежит к классу точно решаемых моделей.
Преобразование
6 = *, ^=т, ?=уТЛа
приводит его к каноническому виду
Ях + 1Яхх + 2isqY = 0, (2.50Ь)
где s = sign (Р/ш"). Мы покажем в гл. 3, как можно вложить (2.50Ь) в
схему обратной задачи рассеяния. Для s = +1 асимп-
3*
68 Глава 2
тотическое решение начальной задачи для (2.50Ь) состоит из
последовательности солитонов огибающей
q (X, т) = 2т) sech 2t| (X + 4ит - Х0) X
X ехр (- 2ivX - 4i (и2 - т]2) т - г'ф0) (2.51 а)
