Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
распадается на отдельные волновые пакеты.
Лишь в 1870-х гг. работа Расселла была окончательно подтверждена, и ее
научное значение можно измерить тем, какой величины фигуры это сделали.
Буссинеск [3] (1872) и Рэлей (1876) независимо нашли решение для
возвышения свободной поверхности в виде квадрата гиперболического
секанса. Работа Буссинеска в действительности этим не ограничивалась и
ввела много новых понятий, используемых в современной науке. В частности,
он нашел сохраняющуюся плотность третьего интеграла движения - величину,
которую он назвал моментом неустойчивости. Он вывел свое решение из
уравнений волн на воде в приближении, носящем теперь его имя. В этом
прибли-
26 Глава 1
жении еще возможны двухволновые (встречные) движения1), но присутствует
основная идея баланса между нелинейностью и дисперсией. Осталось сказать
о Кортевеге и де Фризе, которые в работе 1895 г. (они, видимо, не знали
результатов работ Бус-синеска и Рэлея), пытаясь ответить на возражения
Эйри и Стокса, вывели уравнение одноволнового приближения, носящее теперь
их имя. (Это исследование планировалось как диссертационная работа де
Фриза.)
На этом первом этапе открытия основной упор был сделан на установление
существования уединенной волны и ее устойчивости. Открытие универсальной
природы солитона и других его свойств еще ждало своего часа - когда еще
один эксперимент, предпринятый для исследования совершенно другой
проблемы, привел к неожиданному результату.
lb. Ферми - Паста - Улам. Декорации меняются. Мы переносимся почти на
шестьдесят лет вперед, в совершенно другое место. Теперь мы в Лос-
Аламосе, а главные герои этих событий- Энрико Ферми, Джон Паста и Стен
Улам. Их интересовал вопрос: почему твердые тела обладают конечной
теплопроводностью? Моделью твердого тела служила одномерная решетка,
набор точечных масс, связанных пружинами.
В 1914 г. Дебай предположил, что конечная теплопроводность решетки
связана с ангармоничностью возвращающей силы пружин. Если сила линейна
(закон Гука), то энергия беспрепятственно переносится независимыми
фундаментальными (нормальными) модами. Эффективная теплопроводность
бесконечна, для передачи тепла с одного конца решетки на другой не нужно
никакого перепада температуры, и уравнения диффузии тепла не получается.
Дебай полагал, что если решетка будет слабонелинейной, то нормальные моды
(вычисленные для линеаризованных упругих сил) станут вследствие
нелинейности взаимодействовать и тем самым ограничат перенос энергии.
Суммарный эффект нелинейных взаимодействий (соударений фононов) проявился
бы в конечности коэффициента переноса в уравнении диффузии. Это
предположение побудило Ферми, Пасту и Улама (ФПУ) [5] предпринять
численное моделирование одномерной ангармонической цепочки на компьютере
Маниак I в Лос-Аламосе. Они собирались доказать, что
*) Я имею в виду уравнение (2.14) с D - I, которое является двухволновым.
На самом деле Буссинеск упростил правую часть, заменив Ft на -Fx и Fxt на
-Fxx в соответствии с одноволновым приближением. Его имя поэтому связано
скорее с уравнением (2.26), которое хотя и допускает встречное движение
волн, но не описывает встречные волны на воде, а не с уравнением (2.14).
История солитона
27
гладкое начальное условие, при котором энергия содержится в низшей моде,
или, возможно, в нескольких низших модах, благодаря нелинейному
взаимодействию будет постепенно ре-лаксировать к состоянию
статистического равновесия. В этом состоянии энергия распределяется
поровну между всеми модами колебаний. По времени же релаксации можно было
бы измерить коэффициент диффузии.
Модель, использованная ФПУ для описания одномерной решетки длины L,
состояла из цепочки N-1 одинаковых масс, связанных со своими соседями и с
фиксированными концами решетки с помощью N нелинейных пружин длины h. Эти
пружины при сжатии или растяжении на величину Д создавали силу
F = k( Д + аД2), (1.1)
где k - линейная жесткость пружины и а, принятое положительным, служило
мерой нелинейности. Динамика решетки при этом описывалась следующими
уравнениями:
"1(г//)"=Л(г/,+1-2г/,+ г/,_1)(1+а(г/, + 1 -"//_!)), г=1, 2 N - 1,
(1.2)
Уо - Уы - О,
где yt - отклонение г-й массы от положения равновесия.
В экспериментах ФПУ энергия обычно была вначале сосредоточена в
нескольких низших модах линейной задачи. В линейной задаче энергия
неизменно оставалась бы в этих модах и высшие моды не могли бы
возбуждаться. Благодаря нелинейности энергия перетекает от низших мод к
высшим, и ФПУ ожидали, что это в конце концов приведет к
равнораспределению по всем степеням свободы, имеющимся в их численной
схеме. Взятая ими решетка из 64 точек (в х-пространстве) имела 64
различные собственные моды, между которыми они ожидали увидеть
перераспределение энергии. Если бы их ожидания относительно эволюции
энергии оправдались, это позволило бы рассматривать их расчет как модель
установления теплового равновесия более сложных физических систем.
