Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
деФриза (КдФ) [12],
4t + 6 qqx + qxxx = 0. (2)
Оно также универсально. Уравнение КдФ описывает, как инвариант Римана,
который при отсутствии посторонних воздействий распространялся бы
неискаженным вдоль прямых параллельных характеристик линейной
гиперболической системы (вспомните решение Даламбера и(х, t) = f(x - /) +
g(x + t) линейного волнового уравнения), эволюционирует под воздействием
нелинейности и дисперсии. В (2) х измеряется относительно системы
отсчета, движущейся с характеристической скоростью линейной волны. В КдФ
нелинейность порождает тенденцию к опрокидыванию волны и появлению
сходимости в семействе характеристик и поэтому стремление к возникновению
за конечное время бесконечных пространственных производных. С другой
стороны, дисперсия сглаживает процесс, расщепляя все более крутой фронт в
цуг импульсов или солитонов, каждый из которых, взятый отдельно, имеет
следующий вид:
q (х, t) = 2ri2 sech2 т) (х - х0 - 4тft). (3)
Уравнение КдФ также встречается повсюду, и, как и для НУШ, можно
сформулировать условия, при которых оно возникает. Это уравнение
списывает эволюцию волн на мелкой воде, ионноакустические волны, длинные
волны в сдвиговых потоках (см. [120]) и множество других ситуаций,
которые читатель может найти перечисленными в различных обзорах и
материалах, указанных в списке литературы.
14 Введение
Как уравнение КдФ, так и НУШ появляются в качестве асимптотических
условий разрешимости. Вкратце формулировка "асимптотическое условие
разрешимости" означает условие на главный порядок аппроксимации решения
более сложной системы уравнений, которое обеспечивает равномерную
ограниченность последующих итераций аппроксимации. Другими универсальными
уравнениями, возникающими аналогично и также допускающими солитонные
решения, являются модифицированное уравнение Кортевега - де Фриза (мКдФ),
нелинейное уравнение Шрёдингера с производной (НУШП), уравнения
трехволнового взаимодействия (УТВ), уравнение Буссинеска, уравнение
Кадомцева - Петвиашвили (двумерное КдФ или КП), уравнение Бенджамина -
Оно (БО), уравнение для умеренно длинных волн, уравнение Бенни - Роскеса
- Дэви - Стюартсона (двумерное НУШ), уравнения sin-Гордон и sh-Гордон,
массивная модель Тирринга, уравнение Ландау - Лифшица, модели кирального
поля Вакса - Ларкина - Намбу - Ионы Ла-зинио.
Что примечательно и, насколько мне известно, до сих пор не объяснено, это
то, что многие уравнения, полученные как асимптотические условия
разрешимости при очень общих и широко применимых предположениях, также
являются солитонны-ми уравнениями. Другими словами, почему уравнение,
являющееся универсальным в физике, должно также обладать столь
удивительными математическими свойствами? Я буду объяснять эти свойства
более подробно как в следующих абзацах, так и на протяжении всех этих
лекций, но одно из ключевых свойств солитонного уравнения состоит в том,
что оно обладает бесконечным числом законов сохранения и ассоциированными
симметриями. Несомненно ясно, что при построении математических моделей
для физических приложений естественным образом учитываются некоторые
симметрии, вроде трансляционной инвариантности, при помощи которых
отбрасывается ненужное и выявляются существенные особенности изучаемого
процесса. Однако почему процесс нахождения асимптотического условия
разрешимости должен вводить так много симметрий, большинство из которых
скрытые и не обладают легко понятной физической интерпретацией? Чтобы
нагляднее подчеркнуть необычность ситуации, предположим, что вам
предлагают полную шляпу уравнений и просят случайным образом выбрать одно
из них. Очень маловероятно, чтобы оно оказалось полностью интегрируемым.
Однако в совокупности уравнений, которые возникают в физике в качестве
асимптотических условий разрешимости, пожалуй, содержится
непропорциональная доля уравнений с со-литонными свойствами. Может ли это
быть просто совпадением?
Введение 16
Что мы понимаем под солитонным уравнением? Все, что я до сих пор говорил
о солитоне, сводится к тому, что он представляет собой уединенный бегущий
волновой импульс нелинейного дифференциального уравнения в частных
производных с выраженными свойствами устойчивости и поведением, подобным
частице. Я намекнул, что истинный солитон, решение уравнения с очень
специфическими свойствами, - это нечто существенно большее, чем просто
уединенная волна. Это действительно так. Многие уравнения допускают
уединенные волны, а именно локальные бегущие волновые решения с
нелинейными свойствами устойчивости. Например, если мы заменим керрову
или кубическую нелинейность в (1) на насыщенную нелинейность - iq(\-\-
2qq*)~l или слагаемое 6qqx в (2) на 6q3qx, то по-прежнему будут
существовать бегущие волновые решения, нейтрально устойчивые по отношению
к малым возмущениям. Однако решения в виде уединенных волн солитонных
уравнений имеют дополнительные свойства. Одно из свойств состоит в том,
что две уединенные волны проходят друг через друга, не утрачивая своей
