Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Солитоны в математике и физике" -> 8

Солитоны в математике и физике - Николис Дж.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике — М.: Мир, 1990. — 323 c.
Скачать (прямая ссылка): solitonivmatematikeifizike1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 113 >> Следующая

что для систем обыкновенных дифференциальных уравнений размерности три
или более (например, уравнения Лоренца и Реслера), для двумерных
обратимых отображений (например, отображений Хенона и Икеды) или для
одномерных необратимых отображений (например, логистического уравнения
x"+i=pjt"(l - хп), автомодельная структура которого в пространстве (ц, х)
была открыта в новаторской работе Митчелла Фейгенбаума), движение может
происходить на аттракторе нового типа (в противоположность известным
типам, которые были либо фиксированной точкой, либо предельным циклом),
названном странным аттрактором. Аттрактор назван странным не просто
благодаря своей структуре (локально он может быть представлен как прямое
произведение между п- 1,2,3, ..., и канторовым множеством), а потому что
движение на нем очень сильно зависит от начальных условий. В самом деле,
разумно ожидать, что в некоторых случаях явно стохастический характер
зависимости от времени системы со многими степенями свободы может быть
объяснен с помощью движения точки пространства состояний на странном
аттракторе, размерность которого много меньше. Экспериментальное
обоснование этого предположения может быть найдено в работе [123].
Это отступление в теорию неинтегрируемых систем имело целью максимально
заострить внимание на том, что для полной интегрируемости уравнение
должно обладать очень специальными свойствами. Заметим, что решения
интегрируемых систем не обладают большой чувствительностью к начальным
условиям. Начальные погрешности растут со временем самое большее линейным
образом. До появления солитонных уравнений число интегрируемых систем
можно было пересчитать по пальцам одной руки. Наиболее упоминаемыми были
гармонический осциллятор, движение тела в поле центральных сил, движение
18 Введение
жесткого тела. Действительно, единственный пример бесконечномерной точно
решаемой физической задачи был вовсе не связан с ньютоновской механикой.
Напротив, это была двумерная модель равновесной статистической механики -
модель Изинга с взаимодействием ближайших соседей, предложенная для
описания фазовых переходов. Знаменитым "силовым приемом" Он-загер
вычислил статистическую сумму этой модели, применив ряд искусных и
кажущихся колдовскими трюков. В том, что несомненно должно восприниматься
как совершенно неожиданное развитие, обнаружилась глубокая связь между
солитонными уравнениями и точно решаемыми моделями равновесной
статистической механики, а также квантовой теории поля. Позже этот вопрос
будет обсуждаться более подробно.
К сожалению, свойство полной интегрируемости нельзя установить
непосредственно из самого уравнения1). Поэтому полезно поискать другие
свойства, характеризующие солитонные уравнения, которые легче применить в
качестве теста на интегрируемость к заданному уравнению. Также
поучительно выяснить, что происходит с этими свойствами, когда солитонная
природа уравнений нарушается либо добавлением новых членов, либо
изменением некоторых критических коэффициентов. Ожидается, что такое
возмущение породит некоторые области сто-хастичности в фазовом
пространстве, в частности вблизи гомо-клинных или гетероклинных орбит.
Если возмущение мало, можно ожидать, что будет иметь место результат типа
Колмогорова- Арнольда - Мозера (КАМ) (хотя для бесконечномерных систем
это до сих пор не доказано). Повторим, что в полностью интегрируемых
гамильтоновых системах с ограниченным гамильтонианом движение
осуществляется на инвариантном m-мерном торе, параметризуемом т
значениями переменных действия. Теорема КАМ гласит, что под действием
малых возмущений большинство этих торов сохраняется. Однако между этими
торами существуют узкие области стохастичности. Можно задаться вопросом,
каким образом проявляется эта особенность при нарушении других свойств
солитонных уравнений. Более того, можно также использовать эти идеи для
описания турбулентного или стохастического поведения в других моделях
физики, моделях, которые, будучи невозмущенными, являются точно
решаемыми, вроде модели Изинга, и которые тесно связаны с солитонными
уравнениями.
') С этим утверждением автора можно не согласиться. В настоящее время
имеется строгая и последовательная теория, позволяющая не только ответить
на вопрос об интегрируемости конкретного уравнения, но и описать все
интегрируемые уравнения заданного вида (порядка) [2*], [3*]. - Прим. реф.
Введение Id
Среди многих специальных свойств солитонных решений, которые будут
обсуждаться в этих лекциях, существуют два свойства, на которых я хочу
остановиться. Первым из них является свойство Хироты, открытое Хиротой,
который нашел очень полезный и важный метод вычисления многосолитонных
решений. Необходимо, чтобы уравнения были записаны в билинейной форме;
для уравнения (2) этот шаг (для которого не существует общего алгоритма)
осуществляется с помощью представления
q(x, 0 - 2 In т. (4)
Функция х(х, t) удовлетворяет квадратичному уравнению
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed