Методика решения задач оптики - Ильичева Е.Н.
Скачать (прямая ссылка):
пластинку, одно из главных направлений которой составляет с главной
плоскостью поляризатора угол L Разность фаз, сообщаемая пластинкой, равна
б. Найти: 1) отношение полуосей эллипса колебаний полученного
эллиптически поляризованного света; У ?
2) угол между 'главными направлениями ¦пластинки и полуосями эллипса.
Р е ш е н я е. Луч, проходящий через кристаллическую пластинку,
расщепляется на обыкновенную и необыкновенную волны, колебания которых
поляризованы во взаимно пер епени дку л я р н ы х плоскостях. В силу
различия в скоростях распространения эти волны, пройдя сквозь пластинку,
приЬбретают фазовый сдвиг >6, определяемый формулой (1) задачи 3.3.1. В
результате свет, вышедший /из пластинки, оказывается эллиптически
поляризованным. Покажем это. Направим оси системы координат ОХ ш OY по
главным направлениям кристаллической пластинки {рис. 63). Тогда вектор
напряженности электрического поля в
? ,
1C ' '• Г* * \ 1У
Рис. 63
183
обыкновенной и необыкновенной волнах меняется по закону Ех - a, cos т; Еу
= аг cos (t S),
где т=аit-(kr) \ аъ а2 - амплитуды обыкновенной и необыкновенной волн
соответственно; б - фазовый сдвиг. По условию задачи
¦f-tgi, (2)
где i - угол между главной плоскостью поляризатора и главным,
направлением ОХ кристаллической пластинки.
Формулы (1) описывают эллиптически поляризованную волну. В самом деле,
перепишем (1) в виде
I-COS,, ^.*cos(T + 8).
Отсюда
- sin (т -(-5)--- sin х = sin 8,
&2
cos (т + 8) - ^-cost = 0. (3)
и-l d 2
Возводя в квадрат эти выражения и складывая, получим
Y , ГЕи \2 ЕхЕи
-f ( JL I _ 2------------и- cos 8 = sin2 8. (4)
] \аг J а,а2 ' 7
Уравнение (4) описывает эллипс, оси которого в общем случае непараллельны
осям ОХ и OY. Для решения задачи необходимо перейти в систему координат,
оси которой 0| и 0? направлены по осям эллипса. В новых координатах
уравнение эллипса должно иметь каноническую форму
&)'+&)'='¦
а это возможно в том случае, если проекции вектора напряженности
электрического поля на оси новой системы координат изменяются по закону
•Ejs^cosft-H.k (6)
?с = ± Аг sin(t + 80), •
где 60 - некая начальная фаза. Наличие двух знаков в (6) указывает на
возможность двух направлений движения конца электрического вектора,
описывающего эллипс. Новые компоненты Е g, связаны с прежними Ех, Еу с
помощью формул преобразования
= ЕХ cos б + Еу- sin 0, (7)
Е^ = - Ех sine + S^cose,
184
где 0 - угол поворота старой системы координат при переходе к новой.
Для определения длин полуосей эллипса А\ и Л2 сравниваем: (6) и (7) и,
используя (1), получим
At (cos t-cos - sin -с sin S0) = cos cos 0 -j-a2 (cos t-cos 5 -
- sint- sinS)- sin6,
± Л2 (sin t cos 80-|- cos t sin80) = - ax cos * sin 6 -
-f- a2 (cos x cos S - sin % ¦ sin 8) cos 0.
Приравнивая в этих выражениях коэффициенты при cost и sint,. получим
Л, cos 80 = аг cos в -f- о.2 cos 6 • sin 9, (8а),
Аг sinS0 = a2 sin 8-sin б, (86)
± Л, cos S0 = - а2 sin 8 cos б, (8в)
± Л2зт80= - a^ine+^cosS-cose. (8г)
Возводя в квадрат и складывая (8а) и (86), находим
Л2, =a2, cos26 + a% sin2 б 4-2aja2cos б-sin б-cos 5. (9),
'Аналогично из (8в) и (8г) имеем
Л2г =a2, sin2 б +.а2г cos2 б - 2а,аа cos 0 sin 0 cos S. (9'). Из (9) и
(9') находим
Л\ + Л2г = а2, ~'г а\. (Ю>
Умножим теперь (8а) на (8в), (86) на (8г) и сложим. Это даст
г±:Л,Л4 = а1а2 sin 8. (И).
Из (10) и (11) найдем
± хтЛ±\г sin S. (12).
A2t + A22 a 1 + a 2 v '
Введем теперь вспомогательный угол i\ такой, что
±J- = tg (13>
Численное значение tg V определяет отношение осей эллипса, а знак при
tg/' характеризует два варианта, которые можно использовать при описании
эллипса. С учетом (2) и (13) формула (12) принимает вид
sin2t' = (sin20-sinS. (14).
•Формула (14) решает первую часть нашей задачи.
Деля (8в) на (8а) и (8г) на (86), получим
Аг -а2sin 8-cos 8 ___-ах sin 9 4-.аг cos 9-cos 8
~ Ai aj cos 9 + агcosd-sin 0 a2sin$'Sin8 ' (fg)
185
Из (15) находим следующее уравнение для 0:
(а2, - а22) sin 20 = 2а,а* cos 8 • cos 20,
или
Наконец, учитывая (2), получим
или
tg 26 = (tg 2i) cos S.
(16)
Формула (16) определяет ориентацию эллипса относительно главных
направлений кристаллической пластинки, т. е. решает вторую часть нашей
задачи.
3.4.2. Найти наименьшую толщину Amm пластинки кварца, вырезанной
параллельно оптической оси, чтобы падающий плос-кополяризованный свет
выходил поляризованным по кругу (пе= = 1,5533; *>=1,5442; *,=5000 А).
Решение. Уравнение (4) предыдущей задачи превращается в уравнение
окружности
(знак "плюс" в (2) соответствует левой круговой поляризации, знак "минус"
-• правой).
Из (2) следует, что б= (2т+'1)я/2, (т = 0, 1, 2, ...). Подставляя в это
условие выражение (1) задачи 3.3.1 для фазового сдвига между обыкновенной
и необыкновенной волнами, получим
3.4.3. Компенсатор Бабине помещен между двумя "скрещенными" призмами
Николя. В каких местах компенсатора наблю-
(1)
в том случае, если Oi = a2=a и
(2)
(3)
Отсюда
= 0,014 мм.
186
