Методика решения задач оптики - Ильичева Е.Н.
Скачать (прямая ссылка):
согласно формуле (6) задачи 3.1.1
i(t, d)(& = 2i0(l-\-cosS')d&, (6)
где б7 определяется формулой (5).
Полная интенсивность
LJ2 (sin
I (L, d) = 2ie ^ (1 -j- cos S') 2/0. 1-]-
-L/2
nCL
COS
где I0 = ioL. Отсюда
kCL
sm-
I max - 2/"| 1 "Ь nCL
sin-
X
¦rCL
/nun = 2/. I 1
nCL
(7)
(7')
Согласно Майкельсону, видность интерференционной картины определяется
следующим образом:
у___ Лпах ^min /QV
Подставляя (7) и (7') в (8),
v=-
I
Проанализируем полученный результат. Если 1=Я/4С, то г^0,9. Такая
видность считается удовлетворительной. Таким образом, максимальная ширина
щели, при которой видность интерфе-
/ 4- /
max | min
окончательно получим
nCL sln-j-
nCL
(9)
66
ренционнои картины еще остается удовлетворительной, определяется условием
L< -?г, (Ю)
где С определяется формулой (4).
3.2.6. В интерференционной схеме Юнга (рис. 10) отверстия освещаются
немонохроматическим источником. При этом интенсивность в точке Р экрана
при открытом только первом отверстии есть h(P), при открытом только
втором - h(P)- Предполагая, что излучение носит стационарный характер,
получить формулу для распределения интенсивности на экране.
Решение. Считаем, что отверстия находятся в точках Pt и Рг. Обозначим
расстояния от произвольной точки экрана Р до Рi и Рг через S] и S2. Точки
Р, и Р2 можно считать центрами вторичных возмущений, так что согласно
принципу Гюйгенса возмущение и(Р, t) в точке Р экрана запишется в виде
и{Р, t) = k1u(P" t - tt)-\-ktu(Pt, t - tt), (1)
где
tt =SJc, tt = SJc
(ku k2 - коэффициенты, зависящие от геометрии схемы, размеров и формы
отверстий).
Из теории частично когерентного света известно, что наблюдаемая
интенсивность 1(Р) вычисляется по формуле
/(P) = <u(P,t)u*(P,t)>, (2)
где знак < > означает усреднение по времени наблюдения Т, т. е.
. г
<fW> = §r
-г
знак * означает комплексное сопряжение.
Подставляя (1) в (2), получим
/ (Р) = ktk*t <ц, (t - (,) и*, (t - g> + kjt\ <иг (t - tt) u\ (if - tj>+
+ (t - tt) u*t (t - 4)>-j- ktk*t <U2 (t - tt) u*t (it - ?,)>.
Здесь использовано обозначение Ui(t-ti)-u(Pi, t-tj). Можно показать, что
в случае одинаковых малых отверстий произведения ktk*t и klk*l
действительны и
k,k*t = kjl*t ^\Цг ~ 1*а|2 as \kf
,|2
Тогда
/ (P) = Щ* [<ы, (t - tx) u*t (t - t,)> 4- <ut (t - tt) u*2 [t - f,)> +
-j- 2 Re < (u, (t - ft) u*t (t - ^)>].
3* 67
Здесь через Re г обозначена действительная часть комплексного числа г.
Условие стационарности волнового поля означает независимость средних
значений от начала отсчета времени. Поэтому в первом слагаемом можно
положить fj = 0, во втором ^2 = 0, а в третьем t = t2. В результате
получим
I (Р) = 1*|* [О, (t) и\ (t)> + (0 и\ (/)> 4-
¦+2Re<u, (*,-*,) "*,(<))>],
или в прежних обозначениях
/(Р) = Щ*[<и(Ри f)a*(P" *)> + <" (Л, t)u*(Pt, f)> +
+ 2 Re <u (Plf t2 - f.) и* (P" 0)>], (3)
Введем величину
Г(Р" Р" tt - ?,) = Г(Р" Р" *) = <ы(Р" х)и*{Рг, 0)> =
= <w(P" * + *)"**(/>" *)>¦ (4)
Функция Г (Pi, Рг, т) называется корреляционной функцией полей в точках
Рх и Р2. Если Pi = P2, то функция
Г(Р" Р" ,) = <ц(Р" t + *)u*(Plf f)>
называется автокорреляционной функцией. При т=0 автокорреляционная
функция
Г(Р" Р" 0) = <u(P" t)> = I (pi)>
т. е. сводится к обычной интенсивности (см. (2)).
. Вернувшись к (3), видим, что
I (Р) = /, (Р) + /,. (Р) + 2 \k\* Re Г (Р" Plf х), (5)
где
/|(Р)*|А1,<и(РЛи*(Р|, 0> = И2/(Л)
- интенсивность в точке Р, если открыто только одно i-e отверстие.
Используя последнее соотношение, перепишем (5) следующим образом:
I (Р) = /, (Р) + /, (Р) + 2 УТЖШ) • Re т (Р" Р,. •')" (6)
где величина
(7>
называется комплексной степенью когерентности (коэффициентом частичной
когерентности).
Формула (6) решает поставленную задачу и называется общим законом
интерференции для стационарных оптических полей.
68
3.2.7. В условиях предыдущей задачи освещение ведется ква-
зимонохроматическим светом, т. е. светом, разброс частот которо-
го подчиняется условию --<1, где ш0 - центральная частота,
W(J
Определить видность интерференционной картины в той области экрана, в
которой с большой точностью можно считать, что 1\(Р) =
=Г*2(Р).
Решение. Поскольку степень когерентности у в общем случае является
комплексным числом, то она допускает следующее представление:
Y(P" Р" х) - |y (Р" Р" X)\eim, (1)
где |Y(P" Pi, т) [ - модуль комплексного числа, от - его аргу-?
____________________?
мент, x = t2-^i= --- . Поскольку но условию задачи освещение
ведется квазимонохроматическим светом, с большой степенью точности можно
написать:
'">о (1 + -•) *
Т(Л. Л.,")"|1Г(Р.. Р.. ')\е ' Р.. ')!""•'• (2)
При этом | у | - медленно меняющаяся функция на периоде второго
сомножителя.
Подставляя (2) в формулу (6) предыдущей задачи, получим
/(Р) = Л(Р) + /.(^ + 2К/,(Р)Л(Р)1т(Л. P.. *)|cos•,%. (3)
Из (3) следует
'ш,АР>= Л (Р) +Л (Р) + 2 К/, (Р)-/, (Р) 1т (Л. Р.. ')!. (4)
И=Л <р) + Л И - 2 VA IP) ¦ 1. (Р) 1т (Л. р.. ')!•
Видность интерференционной картины по определению равна
