Методика решения задач оптики - Ильичева Е.Н.
Скачать (прямая ссылка):
отражения и пропускания отличается от определения, используемого в разд.
III.) Известно, что лучи А\С\ и А2С2 обладают разностью хода d=2nh cos%,
которой соответствует фазовый сдвиг
(см. задачу 3.4.1). Ясно, что фазовый сдвиг (4) будет характеризовать
каждую пару соседних отраженных лучей. (Несущественный в данной задаче
фазовый сдвиг ±я в формуле (4) опущен.)
С учетом всего сказанного уравнение волны, распространяющейся по лучу
AiC\, имеет вид
Наконец, для р-го луча, отраженного от пластинки, имеем
b=-nh cos X. Л
(4)
(7)
(6)
(5)
(8)
Амплитуда результирующей отраженной волны
80
Вычисляя сумму членов геометрической прогрессии в квадратных скобках,
получим
( Г 1 _г'2<p-iv (р-d "1
а'<рУ={'+ -]^'е}А
(9>
Если пластинка достаточно длинна, то число отраженных волн будет велико.
Переходя к пределу при р->-оо, получим
К а= А' (оо) = (f + ~jZ~TTeli) л- (Ю>
Для дальнейших преобразований полученного выражения отметим, что согласно
формулам Френеля
г=-г\ (II)
Наконец, введем величины
% = гг = г'г и 7 = ft'. (12>
(Величины R и Т иногда называют отражательной и пропуска-
тельной способностями поверхностей пластинки.) Используя фор-
мулы Френеля, можно показать, что
Я + 7*=1. (13),
Учитывая (II) - (13), находим
(1 Л. (14).
Отметим, что амплитуды в (14) комплексные, а интенсивность света связана
с соответствующей амплитудой следующим образом:
I = АА*,
где А* - комплексно сопряженная амплитуда. С учетом этого-замечания
интенсивность отраженного света
т, ЛМ'* - С ~ VW Л ," J2(\-Cosd)R
1 -пп _ J_^?5 l_Re-ib п - \+R!-2RcOsS
Окончательно имеем
т, _ 4R sin2 8/2 , п,-ч
1 "(1 -R)*+4Rsin4/2
где фазовый сдвиг б определяется формулой (4). (Формула (15) называется
формулой Эйри.) Отсюда следует, что интенсивность отраженного света будет
максимальной, когда
2nh cos X ± Я/2 = ml (16)-
(сравни с формулой (9) задачи 3.4.1).
81
3.5.2. Пучок монохроматического света попадает в пластинку Люммера-
Герке через отверстие АВ, ограниченное диафрагмой DD', так, что угол
падения в пластинке близок к критическому (рис. 20). Интерференционная
картина, образованная вышедшими с каждой стороны пластинки световыми
пучками, наблюдается в фокальной плоскости объектива. Найти распределение
ин-
тенсивности, если в отсутствие пластинки интенсивность в точке
^наблюдения равнялась I.
Решение. Пусть Р и Р' - фокальные точки объектива для -света, вышедшего
из пластинки под углом выхода е, и пусть А - комплексная амплитуда в
точке Р в отсутствие пластинки. Комп1-лексные амплитуды в пучках нижней
группы, пришедших в точку Р, с точностью до несущественного постоянного
фазового множителя равны (см. задачу 3.5.1) величинам
tt'A; tt'r' *Ае'ъ; ..., Ael (Р~Х) \
Следовательно, в точке Р при суперпозиции р первых пучков для
результирующей амплитуды имеем
А" (р) = (1 Ч-r' Vs + ... + r'(2p-V (Р~1)Ъ) tt'A= ТА,
1 - Re
(i)
где R и Т - отражательная-и пропускательная способности пластинки; б г-
разность фаз между соседними интерферирующими лучами, соответствующая
разности хода между этими лучами:
d. -2hVn* - cos2e. (2)
В пределе, считая, что число пучков р-мх>, находим
A" as А" (со) =------L_ А.
' ' 1 - Relb
Таким образом, интенсивность в точке Р
~ 1^+ ,F sin* 5/2 ^
82
где I - интенсивность в точке Р в отсутствие пластинки; в свою-очередь,
4 R
(1-Л)*
(4).
Аналогично для амплитуд в точке Р' в пучках от верхней, поверхности имеем
Jb,
tt'r'A; tt'(г')3 е1йА; ... tf (r')up~l,el 0 А.
(2p-l)gi (Я-1) "
Следовательно, результирующая амплитуда в точке Р'
А' (р) = (I Н- (г'У еа + ... + {г')Чр^')е1 {р~Х) 5) tt'r'A ¦¦
- 1 ~RPelflyRTA.
¦Re1
(5>
В пределе, когда р->-оо, интенсивность в точке Р' запишется в виде
R
Г - Г (оо) - ,+ р sjn2 e/21 - RJ"
(6>
Из (3) и (6) следует, что максимумы в интерференционных картинах, лежащих
под и над пластинкой, находятся на одинаковых угловых расстояниях
относительно нормали к ней. Формулы (3) и (6) носят приближенный
характер, поскольку число пучков,., участвующих в интерференции в
реальных пластинках Люмме-ра-Герке, невелико. Однако положение максимумов
и минимумов интерференционной картины этими формулами передается верно.
6-й тип задач (3.6)
3.6.1. Интерференционные полосы, полученные в интерферометре Жамена
(рис. 21), наблюдаются в фокальной плоскости объектива с фокусным
расстоянием /=10 см. Пластины интерферометра сделаны из стекла с
показателем преломления л =1,5, имеют толщину h-2 см и образуют между
собой малый угол а~Г; свет падает на пластины под углом 45°. Расстояние
Ах между полосами интерференции равно 3,84 мм. Найти длину волны света,
создающего интерференционную картину.
Решение. Из рис. 21 видно, что если пластинки А и В рис. 21
83
интерферометра одинаковы и строго параллельны, то разность хода между
лучами 2 и 3 отсутствует. Однако если пластинки А я В образуют между
собой малый угол а, то между указанными лучами возникает разность хода
d = 2hn cos X, - 2hn cos Хг, (1)
где %i и %2 - углы преломления в пластинках А и В
