Методика решения задач оптики - Ильичева Е.Н.
Скачать (прямая ссылка):
d = 2tih cosx ± XJ2=mX, (8)
минимумам -
d = 2nAcosx±i/2 = (2m-f 1)Я/2, (9)
где т,-0, 1, 2, ... (Дополнительная разность хода ±Я/2 соответствует
дополнительной разности фаз ±я.) Учет многократного отражения не меняет
результатов задачи (см. задачу 3.5.1). Заданная полоса (/n=const)
характеризуется постоянством величины угла % (а значит, и <р) и,
следовательно, создается светом, падающим на пластинку под каким-то
определенным углом. Поэтому такие полосы называют полосами равного
наклона.
3.4.2. Выпуклая линза с большим радиусом кривизны R лежит на
плоскопараллельной стеклянной пластинке и освещается нормально падающим
параллельным пучком монохроматического света с длиной волны X. В
воздушном зазоре между соприкасающимися поверхностями линзы и пластинки в
отраженном свете наблюдаются так называемые кольца Ньютона. Найти радиусы
темных колец.
Решение. Воздушный клин, на котором происходит интерференция, в случае,
когда радиус кривизны линзы велик, имеет очень малый угол. Поэтому с
большой степенью точности можно считать, что клин составлен из отдельных
кусочков плоскопараллельных пластинок, и для каждого такого кусочка,
характеризуемого своей толщиной h, применять формулу (5) задачи 3.4.1 для
разности хода интерферирующих лучей:
d - 2nh cos
причем cos %= const. Считая, что дополнительная разность хода,
обусловленная сдвигом фазы на я при отр-"пении от плосксшарал-
77
лельной пластинки, равна Я/2, запишем условие минимума интерференционной
картины (х='0 при нормальном освещении) в виде
2nh -j- Я/2 = (2т -f-1) Я/2,
или
?г(т= 0, 1,2, ...).
С другой стороны,
A = /?-y7?,-r*.
Разлагая корень по биному Ньютона и ограничиваясь членами второго порядка
малости, получим h~r2/2R. И для радиуса т-'го кольца. Ньютон а
окончательно имеем
rm = VmRl.
Кольца Ньютона являются кольцами равной толщины.
3.4.3. Полосы равной толщины, получающиеся в тонком стеклянном клине
с показателем преломления п=1,5, при освещении рассеянным
монохроматическим светом проектируются на экран, перед которым помещена
квадратная диафрагма со стороной d= 1 см, отстоящая от клина на
расстоянии а=50см. Какой максимальный порядок интерференции N может при
этом наблюдаться на экране? Главная оптическая ось проектирующей системы
приблизительно перпендикулярна к поверхности клина.
Решение. Условие наблюдения светлых полос равной толщины в тонком клине
имеет вид
2nh cos х ± Я/2 = ml, (1)
где cos х берется для точек источника, от которых свет доходит в точку
наблюдения. При малых углах клина величина cosx достаточно постоянна. Для
лучей, отраженных нормально от клина, имеем систему полос равной толщины,
определяемых условием
2 nh = ml. (2)
(Несущественная в данной задаче дополнительная разность хода ±А/2
опущена.) Поскольку клин освещается рассеянным светом, условие наблюдения
полос равной толщины (1) нарушается (cos x^const) и порядок наблюдаемой
интерференционной картины ограничен.
Условие "смазывания" интерференционной картины сводится к требованию
одновременного выполнения равенств
2tih - Nl, 2nh cos X = (2iV-f-1)1/2, (3)
где x - Уг°л преломления, отвечающий предельному углу падения ф на клин,
при котором свет пропускается диафрагмой на экран; N - максимальный
порядок наблюдаемой интерференционной картины. Решая (3) относительно N,
получим
N---------!---- C4V
2 (cosX - 1) *
78
С другой стороны,
cosX=s|/l-sin2<p> (5)
Из условия задачи ясно, что
sin<p^-~(6)
Учитывая (6), разлагаем (5) по биному Ньютона и, ограничившись членом
второго порядка малости, получим
cos 1 -(~-)2- (7)
Подставляя (7) в (4), находим
=5625.
5-й тип задач (3.5)
3.5.1. На плоскопараллельную прозрачную пластинку толщи' ной h с
показателем преломления п, находящуюся в воздухе, под углом <р падает
плоская волна монохроматического света. Свет поляризован так, что вектор
электрического поля колеблется в плоскости падения. Найта интенсивность
отраженного света, если интенсивность падающего света равна /.
Решение. Луч, падающий на п л ос коп а р а л ле л ь ну ю пластинку,
испытывает -в ией многократное отражение (рис. 19). Поскольку падающий
луч по условию задачи моно- Рис )9
хроматический, то отраженные (прошедшие) лучи интерферируют
друг с другом. Таким образом, задача нахождения интенсивности отраженного
(прошедшего) света сводится к учету как многократного отражения, так и
интерференция рассматриваемых лучей.
Уравнение падающей волны имеет вид
? = A sinai*,
где А - амплитуда волны,
. jesiny - 2 cos f
X = t - --------- --
Vt
(см., например, задачу 3.3.1). Для дальнейшего удобно записать уравнение
падающей волны с помощью комплексной экспоненты, т. е.
Е^Аеы\ (1)
79
(2)
Введем коэффициент отражения г и пропускания t для волны, идущей из среды
в пластинку, соотношениями
где А, А', А" - амплитуды падающей, отраженной и преломленной волн
соответственно.
Пусть т' и t' - соответствующие коэффициенты для волны, идущей из
пластинки в окружающую среду. (Данное здесь определение коэффициентов
