Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
§ 20. МЕРА ПЛОЩАДИ
137
до сих пор теоремы ничего бы не выражали и не имели бы никакого значения. С этим связан вопрос о том, должны ли у двух прямоугольников, равновеликих по дополнению и имеющих одну общую сторону, другие стороны также соответственно равняться друг другу.
Как показывает более детальное исследование, при ответе на этот вопрос необходимо опереться на теорему, обратную теореме 46. Эта обратная теорема гласит так:
Теорема 48. Если два равновеликих по дополнению треугольника имеют равные основания, то высоты их также равны.
Эта основная теорема 48 находится в первой книге «Начал» Евклида, где она фигурирует, как теорема 39-я; однако при доказательстве этой теоремы Евклид ссылается на общее положение учения о величинах: «Ka'i тй oXov то5 jispou; jisi^ov eaiiv» (целое больше своей части). Это доказательство сводится к введению новой геометрической аксиомы относительно равновеликости по дополнению*).
Удаётся, однако, доказать теорему 48'и тем самым обосновать учение о площади, не вводя подобной новой аксиомы,— тем путём, который мы здесь наметили, т. е. с помощью одних только плоскостных аксиом и не используя аксиомы Архимеда. Чтобы убедиться в этом, нам необходимо ввести понятие меры площади.
§ 20. Мера площади треугольников и многоугольников
Определения. В геометрии плоскости прямая АВ делит не лежащие на ней точки на две области. Одну из этих областей мы назовём лежащей справа от исходящего из точки А луча АВ, иначе, от «направленного отрезка ДВ», и слева от исходящего из точки В луча В А, иначе, слева от «направленного отрезка ВД»; другую область мы на-
*) В самом деле, в дополнении II будет построена геометрия, в которой будут выполняться все принятые нами сейчас за основу аксиомы I—IV, за исключением аксиомы Ш5 (эта последняя аксиома будет замеиеиа другой, более слабой). В этой геометрии теорема 48, а также утверждение «целое больше своей части» не будут верны. Ср. стр. 222.
138
ГЛ. IV. УЧЕНИЕ О ПЛОЩАДЯХ НА ПЛОСКОСТИ
зовём лежащей слева от луча АВ и справа от луча В А. По отношению к двум направленным отрезкам АВ и АС справа лежит одна и та же область, если точки В к С лежат на одном и том же исходящем из точки А луче, и наоборот. Если для некоторого луча g, исходящего из точки О, правая область уже определена, и луч А, исходящий из точки О, пролегает по этой области, то мы будем называть областью, лежащей слева от А, ту область, которая содержит луч g. Легко убедиться в том, что таким образом, исходя из определённого луча АВ, можно однозначно установить на плоскости правые н левые стороны относительно каждого луча или соответственно относительно каждого направленного отрезка [5в].'
Точки внутри (стр. 65) некоторого треугольника ABC лежат либо слева от сторон АВ, ВС, СА, либо слева от
сторон СВ, ВА, АС. В первом случае мы говорим, что ABC (или ВСА или САВ) является положительным направлением обхода, а СВА (или ВАС или АСВ)—¦ отрицательным направлением обхода треугольника; во втором л с в случае мы говорим, что СВА есть
qe gQ положительное, a ABC—отрица-
тельное направление обхода треугольника.
Определение. Проведём в треугольнике ABC со сторонами а, Ь, с две высоты ha = AD и hh^=BE\черт. 60]. Из подобия треугольников ВСЕ и ACD, в силу теоремы 41, следует пропорция
a:hb=b:ha,
т. е.
ah„ — bhh.
а о
Таким образом, в каждом треугольнике произведение основания на соответствующую ей высоту не зависит от того, какая из сторон треугольника принята за его основание. Итак, половина произведения основания на высоту является характеристическим для треугольника ABC отрезком а. Пусть, например, в треугольнике ABC направление обхода
§ 20. МЕРА ПЛОЩАДИ
139
ABC положительно: положительный отрезок а мы
будем называть (в соответствии с определением на стр. 127)
мерой площади треугольника ABC при обходе его в положительном направлении, и будем обозначать символом [АВС\, отрицательный
отрезок —а мы будем называть мерой площади при обходе треугольника ABC в отрицательном на-
правлении и будем обозначать символом [СВА].
В таком случае имеет место теорема:
Теорема 49. Если точка О лежит вне треугольника ABC [черт. 61],
то для меры площади треугольника имеет место соотношение:
[ABC] = [ОАВ] -f- [ОВС] + [ОС4].
Доказательство. Предположим сначала, что отрезки АО и ВС пересекаются в некоторой точке D. Тогда, с помощью дистрибутивного закона, имеющего место в нашем исчислении отрезков, из определения меры площади следуют соотношения:
[ОАВ] = [ODB] + [DAB],
[ОВС] = — [ОСВ] = — [OCD] — [ODB,
[ОСА] = [OCD] 4- [CAD].
Сложим эти отрезки; если при этом воспользоваться одним из предложений, перечисленных на стр. 127 f56®], то получится:
[ОАВ] 4- [ОВС] -f [ОСА] = [DAB] -f [CAD];
