Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
отсюда же, опять-таки в силу дистрибутивного закона, следует:
[ОАВ] 4~ [ОВС] 4- [ОСА] = [АВС].
Остальные предположения, которые можио сделать относительно положения точки О, приводят аналогичным образом к заключению теоремы 49.
140
ГЛ. TV. УЧЕНИЕ О ПЛОЩАДЯХ НА ПЛОСКОСТИ
Т е о р е м а 50. Если треугольник ABC каким бы то ни было образом разложен на конечное число треугольников ДА, то мера площади треугольника ABC, при его обходе в положительном направлении, равна сумме мер площади всех
треугольников ДА, взятых в положительном направлении обхода.
Доказательство. Пусть ABC — положительное направление обхода треугольника ABC [черт. 62], и пусть DE — отрезок, лежащий внутри треугольника ABC и служащий границей двух треугольников DEF и DEG нашего разложения. Пусть DEF будет положительным направлением обхода треугольника DEF; тогда GED будет положительным направлением обхода треугольника DEG. Возьмём теперь некоторую точку О вне треугольника ABC; тогда, в силу теоремы 49, будут иметь место соотношения:
[DEF] = [ODE] + [OEF] + [OFD],
[GEDJ = [OGE] + [OED] -f [ODG] =
= [OGE]—[ODE]-^[ODG].
При сложении этих двух равенств в правой части выпадет мера площади [ODE].
Выразим таким же образом, по теореме 49, меры площади всех треугольников Д4 с положительным направлением обхода и просуммируем все получающиеся таким образом равенства. Тогда для каждого отрезка DE, лежащего внутри треугольника ABC, в правой части равенства выпадет мера площади [ODE], Обозначим точки, используемые при разложении треугольника ABC и лежащие на его сторонах в порядке их следования, так: A, Av ..., At, B,BU Вт, С, С„ ..., Сп; сумму же мер площади всех треугольников ДА, взятых в положительном направлении
§ 20. МЕРА ПЛОЩАДИ
141
обхода, обозначим коротко через 2- В таком случае при сложении всех равенств, как легко убедиться, получается:
2 = [<мд1]+...-Н0Л|в] +
-f" -j- . . . -|- [ОВтС] -(-
¦ [ОСС,] -j-... -j- [ОСпА] =
= [ОАВ] + [ОВС] -f [ОСА]; следовательно, в силу теоремы 49:
2 = [.ЛВС].
Определение. Назовём мерой площади [Р] простого многоугольника с положительным направлением обхода сумму мер площади всех треугольников с положительным направлением обхода, на которые- распадается данный многоугольник при некотором определённом разложении. Пользуясь рассуждением, аналогичным тому, которое мы применили в § 18 при доказательстве теоремы 43, можно на основании теоремы 50 доказать, что мера площади [Р] не зависит от способа разложения многоугольника на треугольники и поэтому однозначно определяется самим многоугольником [57].
В силу теоремы 50, из этого определения мы заключаем что равновеликие по разложению многоугольники имеют равные меры площади. (Здесь, как и в дальнейшем, под мерой площади надо понимать ту меру площади, которая получается при обходе многоугольника в положительном направлении) [Б8].
Далее, если Р и Q суть два равновеликих по дополнению многоугольника, то, согласно определению, должны существовать такие попарно равновеликие по разложению многоугольники Р\ Q'; . ..; Р", Q", что многоугольник Р-\- Р' -\- ... -j-P", составленный из Р, Р\ ..., Р", равновелик по разложению многоугольнику Q-f-O'Q*, составленному из Q, Q,..., Q1. Из равенств
[P + P' + ...+P"J = [(?+Q' + ...+ (?*],
[п=т
[Р'] = [ Q"]
142
ГЛ. IV. УЧЕНИЕ О ПЛОЩАДЯХ НА ПЛОСКОСТИ
мы заключаем, что
[Р] = №
т. е. что равновеликие по дополнению многоугольники имеют равные меры площади.
§ 21. Равновеликость по дополнению и мера площади
В § 20 мы нашли, что равновеликие по дополнению многоугольники всегда имеют одинаковую меру площади. Из этого факта непосредственно следует доказательство теоремы 48. Действительно, обозначим равные основания обоих треугольников буквой g, а их высоты — буквами А и А'; тогда из предположения о равновеликости обоих треугольников по дополнению следует, что эти треугольники имеют также равные меры площади, т. е. что
±.gh=±-gh'
или, после деления обеих частей равенства на -i- g.
*=*¦.
Тем самым теорема 48 доказана.
Теперь можно также доказать теорему, обратную теореме, доказанной в § 20. Действительно, 'Пусть Р и Q — два многоугольника с одинаковой мерой площади. Основываясь иа теореме 47, построим два прямоугольных треугольника Д и Е, обладающих следующими свойствами: каждый нз них имеет катет, равный 1; треугольник Д равновелик по дополнению многоугольнику Р, а треугольник Е — многоугольнику Q. Из теоремы, доказанной в конце § 20, следует, что меры площади Д и Р одинаковы и что меры площади Е и Q также одинаковы. Из равенства мер площадей многоугольников Р и Q следует, что треугольники Д и Е должны также иметь равные меры площади. Так как у этнх прямоугольных треугольников катеты, равные 1, совпадают по своей величине, то другие их катеты должны также быть равны, т. е. треугольники Д и Е конгруент-ны, а потому, в силу теоремы 43, многоугольники Р и Q равновелики по дополнению.
