Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
152
ГЛ. V: ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА
т. &. линейные и плоскостные аксиомы, за исключением аксиом конгруентности и непрерывности*), и введём в этой геометрии новое исчисление отрезков, не зависящее от аксиом конгруентности, следующим образом: Выберем на плоскости две фиксированные прямые, пересекающиеся в точке О [черт. 68], и в дальнейшем будем производить вычисления только с такими отрезками, у которых начало находится в точке О, а конец — в
произвольной точке на одной из двух фиксированных прямых. Самую точку О мы обозначаем как отрезок О и записываем это так:
00=0
или Ё
0 = 00.
Черт. 68.
Пусть Е и Е — некоторые определенные точки на фиксированных прямых, проходящих через точку О. Каждый из отрезков ОЕ и ОЕ' мы обозначаем как отрезок 1 и записываем это так:
или
ОЕ = ОЕ' = 1
1 = ОЕ = ОЕ'.
Прямую ЕЕ' коротко назовем единичной прямой. Если А и А' — две точки, лежащие соответственно на прямых ОЕ и ОЕ', и если при этом соединяющая их прямая АА' параллельна ЕЕ', то мы будем говорить, что отрезки ОА и 0а' равны, и обозначать это так:
О А = О А' или ОА' = ОА.
Для того чтобы определить сумму отрезков а=ОА и Ь =ОВ, лежащих на ОЕ, построим отрезок АА' параллельно ёдИничиой Прямой ЕЕ' и проведем далее из Л'прямую, параллельную ОЕ, и из В — прямую, параллельную ОЕ’.
*) Можно' ввести новое исчисление отрезков также и без аксиомы о параллельных IV*.
§ 24. ИСЧИСЛЕНИЕ ОТРЕЗКОВ НА ОСНОВЕ ТЕОРЕМЫ 153
Эти две прямые пересекаются в точке А”. Наконец, через точку А" проведём прямую, параллельную единичной прямой ЕЕ'; она пересечёт фиксированные прямые ОЕ и ОЕ' соответственно в точках С и С'. Отрезок с==ОС = ОС' мы назовём суммой отрезка а — ОА и отрезка Ь=^ОВ и обозначим так:
с = а -(- Ъ нли а -(- b = с.
Прежде, чем итти дальше, докажем, что в случае справедливости теоремы Дезарга (теорема 53) сумма двух отрезков может быть получена и более общим способом: точка С, которая определяет сумму а-\-Ь на той прямой, ла которой лежат точки А и В, не зависит от выбора положен- о ной в основу единичной прямой а Ь а‘Ь
ЕЕ', т. е. мы получим ту же точ- „ 6g
ку С и с помощью следующего построения. _
Выберем на прямой ОА' какую-нибудь точку А' [черт; 69] и проведём через точку В параллель к ОА' и через точку А’—параллель к ОВ. Эти две прямые пересекутся в некоторой точке А". Прямая, проведённая через точку А" параллельно АА', пересечёт ОА в точке С, которая определяет сумму а Ц- Ь. •
Для доказательства предположим, что как точки А' и А", так и точки А' и А* получены указанным способом и что на прямой О А точка С определена так, что СА" параллельна АА'. В таком случае нам надо доказать, что СА* параллельна А А’. Треугольники АА'А' и СА"А'' расположены так, что прямые, соединяющие соответственные вершины этих, треугольников, параллельны; так как, кроме 'того, две пары соответствующих сторон, а именно А’А' и А"А", а также АА' и СА", параллельны, то, согласно второй части теоремы Дезарга, третьи стороны А А’ и СА" должны быть тоже параллельны.
154
ГЛ. V. теОРЕМА ДЕЗАРГА
Для определения произведения отрезка а = ОА на отрезок b = О В мы воспользуемся построением, указанным в § 15, но только роль сторон прямого угла в данном случае будут играть фиксированные прямые ОЕ и ОЕ'. Таким образом, это построение сводится к следующему [черт, 70]: на прямой ОЕ' определяют точку А' так,
чтобы АА' была параллельна единичной прямой ЕЕ'; точку Е сое-, диняют с точкой А' и через точку В проводят прямую, параллельную ЕА'; эта последняя пересечёт фиксированную прямую ОЕ' в некоторой точке С; отрезок с = ОС' мы назовём произведением отрезка а = 0/4 на отрезок b = О В и будем это обозначать так:
c=ab нли ab = с.
§ 25. Коммутативный и ассоциативный законы сложения в новом исчислении отрезков
Как легко убедиться, все предложения о соединении, установленные в § 13, верны для нашего нового исчисления отрезков; мы исследуем теперь, какие из указанных там вычислительных правил останутся верными, если мы за основу возьмём плоскую геометрию, в которой выполняются аксиомы ij_3, 11, IV* и в которой, кроме того, имеет место теорема Дездрга.
Прежде всего докажем, что для определенного в § 24 сложения отрезков имеет место коммутативный закон:
а-\- Ь = Ь-\-а.
Пусть
а = О А = О А',
Черт. 70.
Ь=ОВ=ОВ',
§ 25. СЛОЖЕНИЕ В НОВОМ ИСЧИСЛЕНИЙ ОТРЕЗКОВ 155
причём, в соответствии с нашим условием, АА' и ВВ' параллельны единичной прямой [черт. 71]. Мы теперь построим точки А" и В", проведя А'А" и В'В" параллельно ОА и затем АВ" и ВА" параллельно ОА’; как легко видеть, наше утверждение сводится к тому, что соединяющая прямая А"В" параллельна АА'. В правильности этого утверждения мы убеждаемся из теоремы Дезарга (теорема 53) следующим образом. Обозначим точку пересечения прямых АВ" и А'А" буквой F, а точку пересечения прямых ВА" и В'В" — буквой D; тогда в треуголь-
