Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
никах AA'F и BB'D соответствующие стороны будут параллельны. С помощью теоремы Дезарга мы заключаем отсюда, что три точки О, F, D лежат иа одной прямой. Вследствие этого обстоятельства треугольники ОАА' и DB"A" расположены так, что прямые, соединяющие соответствующие вершины, проходят через одну и ту же точку F. Так как, кроме того, две пары соответствующих сторон, а именно ОА, DB" и ОА', DA" параллельны, то, согласно второй части теоремы Дезарга (теорема 53), третья пара сторон АА', В"А" также параллельна.
Из этого доказательства следует, вместе с тем, что безразлично, из какой из двух фиксированных прямых исходить при построении суммы двух отрезков.
Далее справедлив ассоциативный закон сложения:
156
ГЛ. V. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА
Пусть на прямой ОЕ даны отрезки
а=ОА, b = ОВ, с — ОС.
На оснований обобщённого правила сложения, указанного в предыдущем параграфе, суммы
а + Ь = 0О, Ь + с = ОВ\ (a-\-b) + c = OG'
можно построить следующим образом [черт. 72]. Выберем на прямой ОЕ' произвольную точку D и соединим её с точками А и В. Прямая, проведённая через точку D параллельно ОА, пересекает прямые, проведённые через точки В к С параллельно OD, в точках, которые мы обозначим соответственно через F и D'. Прямая ОА пересекается с прямой, проведённой через точку F параллель-
• но AD, в упомянутой уже раньше точке G, а с прямой, проведённой через точку D' параллельно BD, — в также уже упомянутой у нас точке В'; прямая ОА пересекается с прямой, проведённой через точку D' параллельно GD, в точке G', также нам уже встречавшейся. Наконец, сумма а-\-(Ь-\-с) получится после того, как мы щюведём сначала через точку В' прямую, параллельную OD, которая пересечётся с прямой DB' в некоторой точке F', а эатем через точку F’ проведём прямую, параллельную AD. Следовательно, вопрос сводится к доказательству того, что црямые O F и AD параллельны. Обозначим точку пересечения прямых BF и GD буквой Н, а точку пересечения прямых B'F и G D' — буквой Н'. Тогда в треугольниках BDH и B'D'H' соответствующие стороны параллельны; далее, так как прямые ВВ' и DD' параллельны, то, также по.теореме Дезарга, прямая НИ' параллельна этим двум прямым. Поэтому мы можем применить к треугольникам QFH и Q'F'H' вторую часть теоремы Дезарга и убедиться в том, что прямые G'F и GF параллельны между собой, а следовательно, и параллельны AD.
Черт. 72.
§ 26. УМНОЖЕНИЕ В НОВОМ ИСЧИСЛЕНИИ отрезков 157
§ 26. Ассоциативный закон умножения и два дистрибутивных закона в.новом исчислении отрезков
При принятых нами соглашениях умножение отрезков подчиняется ассоциативному закону:
a(bc) — (ab)c.
Зададим на одной из двух фиксированных прямых, проходящих через точку О [черт. 73j, отрезки
1 — ОА, Ь = ОС, с = ОА',
а на второй — отрезки
a — OG и Ь= ОВ.
Согласно правилу в § 24, для построения отрезков Ьс — ОВ' и Ьс = ОС, ab — OD, (ab)c — OD'
проведём прямые: А'В' параллельно АВ, В'С1 параллельно ВС, CD параллельно AQ w A'D’ параллельно AD. JierKO заметить, что наше утверждение сводится к тому, что CD и CD' также должны быть параллельны. Обозначим точки пересечения прямых AD и ВС буквой F, а точку пересечения прямых A'D' и В'С' — буквой F. В треугольниках ABF и A'B'F' соответствующее
стороны параллельны; следовательно, по теореме Дезарга три точки О, F, F лежат на одной прямой. Благодаря этому мы можем к треугольникам CDF и CD'F' применить вторую часть теоремы Дезарга и убедиться, таким образом, что прямые CD и СО’ действительно параллельны.
158
ГЛ. V. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА
Наконец, докажем на основании теоремы Дезарга, что в нашем исчислении отрезков имеют место два дистрибутивных закона:
a(b-\-c) = ab-\-ас и (Ь + с) а = Ьа-\- са.
Для доказательства первого дистрибутивного закона,
a(b-\-с) — а,Ь-\-ас,
положим, что на первой из двух фиксированных прямых
заданы отрезки [черт 74]
\ = ОЕ, Ь = ОВ, с = ОС,
а на второй прямой — отрезок
а = ОА.
Прямые, проведённые параллельно ЕА из точек В и С, пересекают прямую ОА в точках, которые мы соответственно обозначим через D и F. Следовательно, в силу правила умножения (§ 24),
OD = ab, OF = ас.
В соответствии с обобщённым законом сложения в § 24, мы получим сумму
ОН—Ь + с
следующим образом: через точку С проведём прямую, параллельную OD, через точку D — прямую, параллельную ОС, через точку пересечения О проведённых только что двух прямых — прямую, параллельную BD\ эта последняя пересечёт прямую ОС в упомянутой уже точке Н, а прямую OD — в некоторой точке К. Так как ОН — = Ь-\-с, то, в силу правила умножения отрезков, ОК—а(Ь-\- с).
Так как фиксированные прямые ОЕ, ОЕ' при построении суммы можно менять ролями (согласно доказанному иа стр. 155), то сумму ас -{- аЬ на основании обобщённого
