Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
§c = AD, af>c = a (AD) s АЕ,
отрезков:
ас = АС,
$ас-=ЦАС) = АЕ,
откуда следует доказываемая конгруентность.
Вернёмся к фигуре, о которой говорится в теореме Паскаля, и обозначим точку пересечения обеих прямых
буквой О, отрезки О А, О В, ОС, О A', OB', ОС', СВ', ВС, АС’, С А', В А', АВ' соответственно буквами а, Ь, с, аЬ‘, с', I, /*, т, т*, п, п* [черт. 42]. Далее, опустим из точки О перпендикуляры на I, т*, п; пусть перпендикуляр, опущенный на /, образует с прямыми ОА, ОА' острые углы X', X, а перпендикуляры на т* и п образуют с теми же прямыми острые углы ц', jjl и, соответственно, v', v. Если мы теперь выразим эти три перпендикуляра ранее указанным способом через гипотенузы и прилежащие углы в соответствующих прямоугольных треугольниках, то мы придбм к следующим конгруентностям отрезков: Xft'sX’c, (1)
}ia'==ii'c, (2)
va' =v'?. (3)
Так как, согласно условию теоремы, I параллельно /* и т параллельно т*, то перпендикуляры, опушенные из точки О на /* и т, совпадают соответственно с перпендикулярами, опущениыми на / и т*, и, таким образом, мы будем иметь:
\с' = УЬ, (4)
цс' = ji'a. (5)
§ 14. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПАСКАЛЯ
117
Применим к обеим частям конгруентности (3) символ 1'ц. Заметив, что, согласно ранее доказанному, эти символы обладают переместительным свойством, мы получим:
vl'fia' == v'jik’b.
Применим теперь к левой части этой конгруентности конгруентность (2), а к правой части — конгруентность (4); мы получим:
vVjjl’c = v'jjl lc'
или
VJtl'c = v'Xjjl с'.
Далее, применим к левой части конгруентность (1), а к правой — конгруентность (5). Тогда
vji'Xft' = v'Xjx'a
или
Xn'v6'“X}x'v'a.
Основываясь на свойствах наших символов (см. стр. 115), из последней конгруентности заключаем, что
jjLW=Ejj/v'a
и отсюда что
v?>' == v’a. (6)
Рассмотрим теперь перпендикуляр, опущенный из точки О на п, и опустим на него перпендикуляры из точек А и В'. Конгруентность (6) показывает, что основания этих двух перпендикуляров должны совпасть [45], т. е. что прямая я* = ДВ' перпендикулярна к перпендикуляру, опущенному на я, и тем самым параллельна п. Итак, теорема Паскаля доказана.
Для обоснования учения о пропорциях мы будем в дальнейшем пользоваться только тем частным случаем теоремы Паскаля, при котором имеет место конгруентность отрезков
ОС—ОД',
а, следовательно, и конгруентность
118
ГЛ. m. УЧЕНИЕ О ПРОПОРЦИЯХ
и при котором точки А, В, С лежат на одном и том же луче, исходящем из точки О. В этом случае доказательство ведётся особенно просто, а именно следующим образом:
Отложим на луче О А’ от точки О отрезок О В до точки D' [черт. 43]; таким образом, прямая BD’ окажется параллельной прямым СА’ и АС. Вследствие конгруентности треугольников ОС'В и OAD'
<? ОС В = ЗС OAD'. (It)
Так как, согласно условию, прямые СВ' и ВС параллельны, то
ЗС ОСВ = 2СОВ'С. (2f)
Из (1 f) и (2 •}•) следует, что
ЗС OAD' = ЗС ОВ'С.
На основании свойств окружности, вокруг четырехугольника ACD'B' можно описать окружность и, следовательно, в силу известной теоремы,
ЗС OD'C = <К 0-4 В'. (31)
С другой стороны, вследствие конгруентности треугольников OD'C и ОВА’,
OD'C = ОВА’; (4|)
из (31) и (41)‘ следует:
ЗС ОАВ'=е^ОВА'.
Эта последняя конгруентность показывает, что прямые АВ' и ВА' параллельны, что и утверждается теоремой Паскаля.
Если даны прямая, точка вне е5 и угол, то, очевидно, можно с помощью построения этого угла и проведения параллельной прямой найти прямую, которая проходила бы через данную точку и пересекала бы данную прямую
§ 14. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПАСКАЛЯ 119
под данным углом. Принимая во внимание это обстоятельство, мы можем, наконец, применить для доказательства теоремы Паскаля в более общем случае [48J следующий простой приём, которым я обязан одному сообщению со стороны.
Проведём через точку В [черт. 44] прямую, которая, пересекая луч О А' в некоторой точке D', образовывала бы с этим лучом угол, кон-груентный углу -§С ОСА', т. е.
ZCOCA'—ZCOD'B. (1*)
В таком случае, согласно известной теореме, вокруг четырёхугольника CBD'A' можно описать окружность. Вследствие же конгруентности вписанных углов, опирающих- О ся на одну и ту же хорду,
Зс О В А' ~ -§С OD'C. (2*)
Так как прямые СА' и АС по условию параллельны, то ^ОСА'^^СОАС. (3*)
