Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
*) Только для первой части теоремы 51 и теорем 48 и 52 имеются аналоги • в пространстве; см., например, работу
С. О. Шатуновского: Schatunowsky, «Ueber den Raum-inhalt der Polyeder», Math. Ann.- т. 57. М. Дэи в статье «Ueber den Inhalt spharischer Dreiecke», Math. Ann. т. 60 no* казал, что можно обосновать учеиве о площадях на плоскости даже без аксиомы о параллельных, с помощью одних только предложений о конгруентности. См. также F i n z е 1, «Die Lehre vora FlS:heninhalt in der allgeraeinen Geometrie», Math. Ann. т. 72.
**) W. Stiss, «Begriindung der Lehre vom Polyecferinhalt», Math. Ann. t, 82.
10 Д. Гильберт
ГЛАВА ПЯТАЯ
V 9
ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА
§ 22. Теорема Дезарга и её доказательство на плоскости с помощью аксиом конгруентности
з аксиом, установленных в первой главе, все аксиомы групп II—V относятся частью к прямой, частью к плоскости; аксиомы 4—8 группы I— единственные относящиеся к пространству. Для того, чтобы выяснить значение этих пространственных аксиом, представим себе, что дана некоторая плоская геометрия, и исследуем вообще условия, при которых эту плоскую геометрию можно рассматривать как часть пространственной геометрии, в которой иыпол-няются все аксиомы плоской геометрии, и, кроме того, прв-странственные аксиомы соединения 14_8.
В этой и в следующей главах мы вообще не будем пользоваться аксиомами конгруентности. Вследствие этого мы должны будем поломСЙть здесь в основу наших рассуждений аксиому о параллельных IV (стр. 86) в усиленной формулировке.
IV* (Аксиома о параллельных в усиленной формулировке). Пусть а — некоторая прямая, а А — лежащая вне её точка; тогда в плоскости, определяемой прямой а и точкой А, существует одна и только одна прямая, проходящая через точку А и не пересекающаяся с прямой a [69j.
Как известно, на основании аксиом групп I, II, IV* возможно доказать так называемую теорему Дезарга [в0]; теорема Дезарга — плоскостная теорема о точках пересече-
§ 22. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА И ЕЁ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 147
ния. Мы особо выделяем случай, когда прямой, на которой должны лежать точки пересечения соответствующих сторон обоих треугольников, является так называемая «бесконечно удалённая прямая-», и получающуюся таким образом теорему вместе с обратным ей предложением будем именовать просто теоремой Дезарга; эта теорема гласит [черт. 64]:
Теорема 53 (теорема Дезарга). Если два треугольника расположены в плоскости так, что каждая пара их соответствующих сторон параллельна, то прямые, соединяющие соответствующие вершины, либо пересекаются в одной точке, либо параллельны, и обратно:
Если два треугольника так расположены водной плоскости, что прямые, соединяющие соответствующие вершины, пересекаются в одной точке или Черт. 64.
параллельны, и если кроме того
две пары соответствующих сторон треугольников параллельны, то третья пара сторон этих треугольников также параллельна.
Как было уже упомянуто, теорема 53 вытекает из аксиом 1—11, IV*; в соответствии с этим фактом справедливость теоремы Дезарга в плоской геометрии является во всяком случае необходимым условием для того, чтобы эту геометрию можно было рассматривать как часть пространственной геометрии, в которой выполняются все аксиомы групп 1—11, IV*.
Мы будем рассматривать теперь, как и в главах третьей и четвёртой, плоскую геометрию, в которой имеют место аксиомы 1,_3 и II—IV и в которой мы введём исчисление отрезков в соответствии с § 15; в таком случае оказывается возможным, как это было изложено в § 17, каждой точке этой плоскости поставить в соответствие пару отрезков (я, у)} а каждой прямой — отношение трёх отрезков (a:v:w) (причём по крайней мере один из отрезков а и v должен не быть нулём) так, чтобы линейное 10*
148
ГЛ. V. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА
уравнение
их -]- vy -f- w = О
представляло условие того, что точка лежит' на прямой. Система всех отрезков в нашей геометрии образует, согласно § 17, числовое поле, для которого имеют место свойства 1 —16, перечисленные в § 13; поэтому мы можем с помощью этого числового поля построить пространственную геометрию аналогично тому, как это было сделано в §9 или §12 с помощью числовых систем й и й(?). Для этого мы положим, что система трёх отрезков (х, у, г) представляет точку, а отношение четырёх отрезков (и;г»:и/: г), в котором по крайней мере один из отрезков и, v, w отличен от нуля, — плоскость, в то время как прямая определяется, как пересечение двух плоскостей; при этом линейное уравнение
их -j- vy -j- wz -j- r=0
выражает тот факт, что точка (х, у, г) лежит в плоскости (и:v:w.г). Что же касается порядка точек иа прямой, или порядка точек плоскости по отношению к прямой, лежащей в этой плоскости, или, наконец, порядка точек относительно плоскости в пространстве, то он определяется неравенством между отрезками, аналогично тому, как это было сделано в § 9 д^я плоскости.
Подставив значение г= О, мы получаем первоначальную плоскую геометрию и убеждаемся, таким образом, что нашу плоскую геометрию можно рассматривать как часть пространственной геометрии. Но, согласно сказанному ранее, необходимым условием для того, чтобы плоскую геометрию можно было рассматривать как часть геометрии пространства, является теорема Дезарга, а потому в нашей плоской геометрии должна иметь место также и теорема Дезарга. Эта теорема является, таким образом, следствием аксиом I,_s, 11—IV.
