Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
§ 15. ИСЧИСЛЕНИЕ ОТРЕЗКОВ
123
то из чертежа [48], снова в силу теоремы Паскаля, явствует, что концы этих отрезков должны совпасть, т. е. что ае = ей или a (cb) = с (ab).
Отсюда, на основании коммутативного закона, получается: a(bc) = {ab) с *).
Из изложенного видно, что для доказательства справедливости коммутативного и ассоциативного законов умножения мы использовали только тот частный случай теоремы Паскаля, который нам удалось доказать (на стр. 117—118, § 14) особенно просто, применив лишь один раз теорему об углах вписанного четырёхугольника.
Резюмируя всё сказанное, мы приходим к обоснованию умножения в исчислении отрезков еле- Черт. 49.
дующим способом, который мне кажется более простым, чем все другие, известные до сих пор.
На одной из сторон прямого угла откладывают от его вершины О отрезки а —О А и Ь = ОВ, а на другой стороне того же угла — единичный отрезок 1 =ОС [черт. 49].
*) Сравнить с этим также методы обоснования учения о пропорциях, которые были даиы А. Кнезером (A. Kneser, Archiv far Math, und Phys., R. Ill, т. 2) и И. Моллерупом (J. Mollerup, Math. Ann. т. 56, а также «Studier over den plane geometris Aksiomer», Kopenhagen, 1903) и в которых равенства между пропорциями были уже установлены. Ф. Шур (F. S с h и г, Zur Proportionenlehre, Math. Ann. т. 57) замечает, что уже Купффер (Kupffer, Sitzungsber. der Naturforschergesell-schaft zu Dorpat, 1893) правильно доказал справедливость коммутативного закона умножения. Всё же надо признать, что дальнейшее обоснование учения о пропорциях, давиое Купффером, недостаточно.
124
ГЛ. III. УЧ2ННЕ О ПРОПОРЦИЯХ
Окружность, проведённая через точки А, В, С, пересечёт ещё вторую сторону угла в точке D. Точку D легко найти, не прибегая к циркулю [48], а основываясь только на аксиомах конгруентности; для этого достаточно из центра окружности опустить на ОС перпендикуляр и относительно него построить зеркальное отражение точки С. Вследствие равенства углев ОСА и ¦§? OBD мы, согласно определению произведения двух отрезков (стр. 121), имеем:
OD = ab;
в силу же равенства углов ¦§? ODA и ^ О ВС по тому же определению
OD=ba.
В силу замечания, сделанного на стр. 122, вытекающий отсюда переместительный закон умножения
ab = ba
показывает, что рассмотренный на стр. 117—118 частный случай теоремы Паскаля верен для сторон прямого угла, а отсюда, согласно сказанному на стр. 122—123, следует ассоциативный закон умножения;
а (Ьс) = (аЬ) с.
Наконец, в нашем исчислении отрезков верен также и дистрибутивный (распредели тел ь ный) закон:
a(b-\- c) = ab-f- ас.
Для его доказательства построим отрезки аЬ, ас и а(6-|-с) и проведём через конец отрезка с (см. чертёж [50]) прямую, параллельную другой стороне прямого угла. Конгруентность обоих заштрихованных прямоугольных треугольников и применение теоремы о равенстве противоположных сторон
Черт. 50.
§ 16. ПРОПОРЦИИ И ТЕОРЕМЫ О ПОДОБИИ
125
параллелограмма приводят нас к желаемому доказательству.
Если Ъ и с—любые два отрезка, то всегда существует отрезок а такой, что c = ab; этот отрезок а мы назовём
частным от деления с на Ь и будем обозначать так: .
§ 16, Пропорции и теоремы о подобии
С помощью изложенного исчисления отрезков можно дать следующее строго обоснованное учение Евклида о пропорциях, не опираясь на аксиому Архимеда.
Определение. Если а, Ь, а', Ь' — какие-то четыре отрезка, то под пропорцией
a\b — a':b'
мы будем понимать не что иное, как равенство отрезков
ab’ — ba'.
Определение. Два треугольника называются подобными, если у них соответственные углы конгруентны.
Теорема 41. Если а, b и а', Ь’ суть соответственные у
стороны в двух подобных треугольниках, то имеет место про- ь
поргция; е
a:b = a':b'.
О
Доказательство. Рассмотрим сначала тот частный Черт. 51.
случай, при котором углы, заключённые между сторонами а, Ь и а', Ь\ прямые, и положим, что оба треугольника перенесены в один и тот же
прямой угол. Здесь отложим от вершины на одной из сторон угла отрезок, равный 1 {черт. 51J, и проведём через
конец этого отрезка прямую, параллельную обеим гипотенузам; эта прямая отсечёт на второй стороне угла ovpe-зок е; согласно нашему определению произведения отрезков,
Ь = еа, Ь' = ей'
126
ГЛ. III. УЧЕНИЕ О П^ОПОНЦИЯХ
и тем самым т. е.
аЬ' = Ьа\ a:b = a':b'.
Вернёмся теперь к общему случаю. В каждом из подобных треугольников построим точку пересечения трёх его биссектрис S и, соответственно, 5* [черт. 52], существование которой легко доказать на основании теоремы 25. В каждом из треугольников из найденных точек опустим перпендикуляры — соответственно г и г* — на его сторэ-ны. Образовавшиеся при этом отрезки обозначим соответственно буквами:
