Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
2" 2"
заключить, что на основе такого соответствия можно однозначно сопоставить действительное число каждой точке прямой, причём соответствие будет обладать следующим свойством: если А, В, С—какие-то три точки на прямой, а а, р, у — соответствующие действительные числа, и притом точка В лежит между точками Л и С, то числа а, р, Y удовлетворяют одному из двух неравенств:
a<P<Y или a>P>Y-
Из изложенного в § 9 второй главы ясно, что там для каждого числа, принадлежащего алгебраическому числовому полю Q, должна существовать на прямой точка, которой отнесено это число. Будет ли также и каждому действительному числу (может быть и не входящему в Q) соответствовать точка на прямой или нет — это зависит от того, будет ли в рассматриваемой геометрии иметь место аксиома полноты V2 или нет.
Напротив, если в какой-либо геометрии принимают только аксиому Архимеда, то всегда можно систему точек,
9 Д. Гильберт
130
ГЛ. III. УЧЕНИЕ О ПРОПОРЦИЯХ
прямых и плоскостей так пополнить «иррациональными» элементами, что каждой без исключения системе трёх действительных чисел, удовлетворяющих уравнению произвольно взятой прямой, в построенной нами геометрии соответствует точка на этой прямой. Путём введения соответствующих определений можно добиться того, чтобы в расширенной геометрии все аксиомы 1—V выполнялись. Эта расширенная геометрия (полученная путём добавления иррациональных элементов) есть не что иное, как обыкновенная аналитическая геометрия Декарта в пространстве, в котором имеег место также и аксиома полноты V2*).
* Ср. замечания в конце § 8.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
^7
УЧЕНИЕ О ПЛОЩАДЯХ НА ПЛОСКОСТИ § 18. Многоугольники, равновеликие по разложению и по дополнению
основу наших исследований в настоящей, четвёртой главе мы положим те же аксиомы, что ив третьей главе, а именно — линейные и плоскостные аксиомы всех групп, за исключением аксиом непрерывности, т. е. аксиом Ij_3 h11—IV.
Изложенное в третьей главе учение о пропорциях и введённое там же исчисление отрезков дают нам возможность обосновать учение Евклида о площадях с помощью указанных аксном, т. е. с помощью аксиом, относящихся только к плоскости, и притом независимо от аксиом непрерывности.
Так как, согласно исследованиям третьй главы, учение о пропорциях существенно опирается на теорему Паскаля (теорема 40), то то же относится и к учению о площадях; я считаю это обоснование учения о площадях одним из самых замечательных приложений теоремы Паскаля в элементарной геометрии.
Определение. Если две точки какого-либо простого многоугольника Р соединить какой угодно ломаной, проходящей целиком внутри этого многоугольника н не имеющей двойных точек, то получается два новых простых многоугольника Рг и Р2, все внутренние точки которых лежат внутри многоугольника Р; в этом случае мы будем говорить, что Р распадается на Pj и Р*. или что Р
9*
132
ГЛ. IV. УЧЕНИЕ О ПЛОЩАДЯХ НА ПЛОСКОСТИ
разложен на Я1 и Я2, или что Рх и Я2 составляют вместе Р [м].
Определение. Два простых многоугольника называются равновеликими по разложению, если они могут быть разложены на конечное число попарно конгруентных треугольников.
О п р е д е*л е н и е. Два простых многоугольника Р и Q называются равновеликими по дополнению, если к ним можно присоединить конечное число таких равновеликих по
разложению многоугольников Я', Q'; Р", Q'; ...; Я", Q", что оба составленных таким образом многоугольника
Р + Р' + Р" -f ... + Р'" и Q 4- (? + СГ -f... -f Q" будут
равновелики по разложению [черт. 54].
Из этих определений сразу вытекает, что ot объединения равновеликих по разложению многоугольников образуются снова многоугольники, равновеликие по разложению; если же от равновеликих по разложению многоугольников отнять равновеликие по разложению, то получатся многоугольники, равновеликие по дополнению.
Далее, справедливы следующие теоремы.
Т е о р е м а 43. Если два многоугольника Рг и Я2 равновелики по разложению третьему многоугольнику Я8, то они и между собою равновелики по разложению. Если два многоугольника порознь равновелики по дополнению третьему, то они между собой равновелики по дополнению.
Доказательство. Согласно условию, как для многоугольника Я,, так и для многоугольника Р2 существует такое разложение на треугольники, что каждому из этих разложений соответствует разложение многоугольника Я3 на
Черт. 54.
§ 18. МНОГОУГОЛЬНИКИ, РАВНОВЕЛИКИЕ ПО разложению 133
конгруентные треугольники [черт. 55]. Рассматривая одновременно оба эти разложения многоугольника Р3, мы видим, что, вообще говоря, каждый треугольник одного разложения разложен на многоугольники отрезками, принадлежа-
«ч
5* . 4
1 \
/ '
\*\
з / и Ур
W А»
<Л>\
Черт. 55.
щими другому разложению. Прибавим к этому разложению отрезки так, чтобы каждый полученный таким образом многоугольник сам также распался на треугольники, и разобьём соответствующим образом треугольники в разложениях многоугольников Рг и Р2; тогда оба многоугольника распадутся, очевидно, на одинаковое количество попарно конгруентных треугольников, и потому они, согласно определению, равновелики по разложению.
