Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
а можно прибавить к самому себе столь большое число раз, что образовавшаяся сумма окажется больше Ь. Последнее можно записать так:
CL “I- CL —. * , —|— d Ь.
18. (Предложение о полноте.) Невозможно к системе чисел присоединить другую систему вещей, отличных от чисел, так, чтобы в системе, образовавшейся в результате их объединения, выполнялись бы все предложения 1—17 и вместе с тем сохранялись бы соотношения, существовавшие между числами. Короче: числа образуют систему вещей, которая при сохранении всех, соотношений и всех приведённых предложений не допускает никакого расширения.
Система вещей, обладающая только частью свойств
1 —18, называется комплексной числовой системой. Комплексная числовая система называется ирхимедовой или неархимедовой, смотря по тому, удовлетворяет ли она требованию 17 или нет.
Некоторые из указанных свойств 1 — 18 суть следствия остальных. Возникает задача — исследовать логическую связь между этими свойствами *). В главе шестой в § 32 и § 33 мы исследуем два такого рода вопроса, так как они имеют геометрическое значение. Здесь мы отметим только, что требование 17 во всяком случае не является логическим следствием предыдущих свойств; так, например, рассмотренная нами в § 12 комплексная числовая система й (t) обладает всеми свойствами 1—-16, но не удовлетворяет требованию 17.
В остальном относительно предложений о непрерывности (17—18) справедливы замечания, аналогичные тем, которые мы сделали в § 8 относительно геометрических аксиом непрерывности.
*) Ср. мой доклад, иа который уже были ссылки раньше. ® Д. Гильберт
ii4
гл. iti. учение о прЬпорцнй*
§ 14. Доказательство теоремы Паскаля
В этой и следующей главах мы кладём в основу наших исследований плоскостные аксиомы всех групп, за исключением аксиом непрерывности, т. е. аксиомы 1,_3 и И—IV. В настоящей, третьей главе мы намерены обосновать учение Евклида о пропорциях с помощью перечисленных аксиом, т. е. обосновать это учение в плоскости и независимо от аксиомы Архимеда.
С этой целью мы предварительно докажем одно предложение, которое представляет собою частный случай теоремы Паскаля из теории конических сечений. Это предложение в дальнейшем я буду для краткости называть теоремой Паскаля; состоит оно в следующем;
Теорема 40*). (Теорема Паскаля.) Пусть на каждой из двух пересекающихся прямых дины по
ч 39 Для доказатель-
ства этой теоремы мы введём следующее обозначение: так как в прямоугольном треугольнике катет а, очевидно, однозначно определяется гипотенузой с и уг-
*) Ф. Шур опубликовал интересное доказательство теоремы Паскаля, основанвое на плоскостных и пространственных аксиомах I—III (см. Math. Ann. т. 51, см. также Dehn, Math. Ann. т. 53). И. Иельмслеву удалось, опираясь на результаты Г. Гессевберга (D: Hessenberg, Math. Ann. т. 61), доказать теорему Паскаля, исходя из аксиом I—111, относящихся только к плоскости (J. Н j е 1 m s 1 е v, «Neue BegrUndung der ebenen Geometries, Math. Ann. т. 64). См. также добавление III в этой книге.
три точки — Л, В, С и, соответственно, АВ\
С, — отличные от точки пересечения этих прямых [черт. 39]; если при атом окажется, что СВ' параллельно ВС и что СА' параллельно АС, то ВА' будет параллельно АВ'.
§ 14. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПАСКАЛЯ 115
лом а между а и с [черт. 40J, то для краткости положим
а = ас.
Таким образом, символ ас означает вполне определённый отрезок всякий раз, когда с является заданным отрезком, а а — заданным острым углом. Точно так же, при любом заданном отрезке а и любом заданном остром угле а равенство
а —ас
всегда однозначно определяет отре^ зок с.
Пусть теперь с — любой отрезок и a, ji—два любых острых угла; мы утверждаем, что имеет место конгруентность отрезков
а$с = $ас
и что, таким образом, символы а и [5 допускают перестановку.
Чтобы доказать это утверждение, возьмём отрезок с — АВ и отложим при точке А с обеих сторон этого
отрезка углы а и ji [черт. 41]. Затем из точки В иа дру-
гие стороны этих углов опустим перпендикуляры ВС и BD, соединим точку С с D и, наконец, опустим из точки А иа CD перпендикуляр АЕ.
Так как углы 2?АСВ и ADB прямые, то четыре точ-
ки А, В, С, D лежат на одной окружности, а потому углы ^ ACD и Черт. 41. ABD, как вписанные, опираю-
щиеся на одну и ту же хорду AD, конгруентны [44j. Далее, с одной стороны, угол ACD составляет вместе с <? САЕ прямой, с другой стороны, ABD вместе с BAD также составляет прямой; следовательно, углы jg- САЕ и Z^BAD друг другу конгруентны, т. е.
8*
2ССАЕе=$,
116
ГЛ. III. УЧЕНИЕ О ПРОПОРЦИЯХ
и потому
§: DAE==a.
Теперь мы непосредственно получаем конгруентность
