Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
*) М. D е h n, Die Legendreschen Sfitze Uber die Winkelsumme im Dreieck, Math. Ann. т. 53, 1900.
§ 12. НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМ НЕПРЕРЫВНОСТИ
манову (эллиптическую) геометрию [43]. Эти аксиомы у Дэна сформулированы, примерно, так:
Четыре точки А, В, С, D прямой всегда распадаются на две пары А, С и В, D так, что точки А, С разделяют точки В, D и обратно. Любые пять точек прямой можно обозначить буквами А, В, С, D, Е так, чтобы точки; А, С были разделены точками В, D и В, Е, точки A, D были разделены точками В, Е и С, Е и т. д..
На основе этих аксиом I—III, т. е. не пользуясь непрерывностью, М. Д э н доказывает далее обобщенную вторую теорему Лежандра (теорему 39):
Если в каком-либо одном треугольнике сумма углов больше, равна или меньше двух прямых, то это же имеет место относительно любого треугольника*).
Далее в цитированном месте доказывается следующее дополнение к первой теореме Лежандра (теорема 35): Если отбросить аксиому Архимеда, то из предположения, что через одну точку можно провести бесчисленное множество прямых, параллельных данной, отнюдь не вытекает, что сумма углов в треугольнике меньше двух прямых. Более того, с одной стороны, существует геометрия (нележан-дрова геометрия), в которой через- одну точку можно провести бесчисленное множество прямых, параллельных данной, и в которой веб же имеют место теоремы ри-мановой (эллиптической) геометрии; с другой стороны, существует геометрия (полу-евклидова геометрия), в которой через точку проходит бесчисленное множество прямых, параллельных данной, и в которой
*) Доказательство этой теоремы дали затем также Ф. Ш у р (F. Sсhuг, Math. Ann. т. 55) и 'Иельмслев (Hjelmslev, Math. Ann. т. 64); у последнего следует особо отметить очень короткий вывод, приводящий к доказательству средней части этой теоремы. См. также F. S с h u г, Grundlagen der Georaetrie, Leipzig und Berlin, 1909, § 6.
НО гл. 11. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМ
всё же имеют место теоремы евклидовой геометрии.
Из предположения же, что параллельных прямых не существует, неизменно следует, что сумма углов в треугольнике больше двухпрямых.
Отмечу,, наконец, что если принять аксиому Архимеда, то аксиому о параллельных можно заменить требованием, чтобы сумма углов в треугольнике равнялась двум прямым.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
- "¦ ¦ " ..и-тд
УЧЕНИЕ О ПРОПОРЦИЯХ
§ 13. Комплексные числовые системы*)
начале этой главы мы хотим сделать несколько предварительных кратких разъяснений о комплексных числовых системах. Эти разъяснения дадут нам в дальнейшем возможность упростить изложение.
Действительные числа образуют в своей совокупности систему вещей, обладающую следующими свойствами:
Предложения о соединении (1—6):
1. Из числа а и числа Ь получается посредством «сложения» вполне определенное число с. Это обозначают так:
а-\-Ъ-=с или с = а-\-Ь.
2. Для двух данных чисел а и Ъ всегда существует одно и только одно число х, а также одно и только одно число у такие, что
а-\-х — Ь и, соответственно, у-^-а — Ь.
3. Существует одно вполне определенное число — мы называем его нулем (0) — такое, что для любого а одновременно
а-{-0 = а и 0Ц-а = а.
4. Из числа а и числа Ь получается еще некоторым другим .образом — с помощью «умножения» — вполне
*) См. также мой доклад: «Ueber der Zahlbegriff», Jahresbe-richt der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, т. 8, 1900. (Добавление VI к этой книге;.
112
ГЛ. III. УЧЕНИЕ О ПРОПОРЦИЯХ
определённое число с. Это обозначают так: ab = с или с = аЬ.
5. Если а и Ь суть диа любых заданных числа, причём а не 0, то всегда существуют одно и только одно число х, а также одно и только одно число у — такие, что
ах=Ь и, соответственно, уа = Ь.
6. Существует одно вполне определённое число —мы назыиаем его единицей (1) —такое, что для любого а одновременно
а-\—а и 1 -а=а.
Вычислительные правила (7—12):
Для любых чисел а, Ь, с имеют место следующие вычислительные законы:
7. л—||— с) (л —j— ^) —j— с.
В. а —Ъ Ъ —j— d,
9. a (be) =(ab)c.
10. a(b-\-c) —ab-\-ac. •
11. (a-\-b)c =ac-\-bc.
12. ab = ba.'
Предложения о порядке (13—16):
13. Если а и b — два Любых отличных друг от друга числа, то одно и только одно из них (скажем, а) больше другого; это последнее называется меньшим числом. Обозначают это так:
аb и Ь<^а.
Для любого числа а утверждение а~^> а ложно.
14. Если аЬ и Ьс, то с.
15. Если а^>Ь, то всегда также
& с Ь —с *
16. Если а^>?> и с^>0, то всегда также
ас Ьс.
§ 13. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ 113
Предложения о непрерывности (17—18):
17. (Предложение Архимеда.) Пусть а^>0 и
О— два произвольно выбранных числа; в таком случае
