Релятивистская небесная механика - Брумберг В.А.
Скачать (прямая ссылка):
17
решения от времени может быть задана рядами Фурье по кратным средней аномалии
(~-)Пехр/-ImF= 2 ХГ>)ехр/--1 Ш, (19)
справедливыми для произвольных целых чисел пит. Коэффициенты Ганзена Xj?'т (ё) зависят лишь от экс^ центриситета е и легко вычисляются путем разложения в ряды по степеням е2. Эти ряды начинаются с членов степени I т — к | относительно е. Существуют также таблицы, содержащие достаточное количество коэффициентов этих рядов (Jarnagin, 1965). Коэффициенты Ганзена с нулевым нижним индексом играют особенно важную роль, так как они дают среднее значение по времени функций, стоящих в левой части (19). Эти коэффициенты сводятся к гипергеометрическим полиномам
п>\т\ — 1,
(1 + ?i)i»Hi-if (і —л—1, —л —1, 1+|то|, ?2),
|іл|-1>л>-1,
OO
й_у«1 (-„-I-|rn|),m| 2 I (l),m|
X
X
о,
-1>и>-|т|-1,
п + I т) + 2 и 4-1 m [ + 3
2 '
, 1 + Н,е2),
—1/»| —1>ге,
(20)
где
і + YT^'
(а), — обобщенные факториалы
(а), = а (а + 1)...(а + s 1), (а)0 = 1
(21) 18 ЭЛЕМЕНТЫ НЬЮТОНОВОЙ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. 1
и F (o&,?,Y,;r) — гипергеометрический ряд
Ffc?,Г,Xl-ISIf*-.
Использование разложений (19) позволяет на основании (12) записать общее решение эллиптического случая задачи двух тел в виде тригонометрических рядов:
OO
x + V~iy = a 2 ХІЛ(е)[cos2-і-exp(кМ + <* +
к=—оо
+ Q) + Sina exp Y^i (— кМ — (о + Q)]» (22)
OO
z ~ a sin і 2 Xfc1 (е) sin (кМ + ю), (23)
сходящихся для всех вещественных значений t при любом значении OOCl. Элементы Q, со и Wl входят в эти ряды лишь как тригонометрические аргументы, а коэффициенты рядов являются функциями от а, е и і. Поэтому а, е, і (точнее, cos і) аналогичны в определенном смысле переменным действия и называются линейными элементами, a Q, со, Wl носят название угловых элементов. Нередко вместо элемента Wl рассматривается сама средняя аномалия М. Кроме того, в обычном случае прямого движения (0 < і < 90°) вместо со и M часто употребляют долготу перицентра Jt = Q + со и среднюю долготу X == я + M. В соответствии с (17)
X = /I (t - *0) + Є, (24)
где е = я + — средняя долгота в эпоху. Если в угловых аргументах рядов (22), (23) перейти от M и со к X и я, то сумма индексов при X, я и Q будет равна единице в рядах (22) и нулю — в рядах (23). При этом абсолютная величина индекса при я показывает порядок малости соответствующего коэффициента относительно е, а абсолютная величина индекса при Q характеризует порядок малости этого коэффициента относительно і. Эти § 2] УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ В ЭЛЕМЕНТАХ 19
свойства распространяются и на более сложные ряды, встречающиеся в задачах небесной механики.
Надо еще отметить, что часто, особенно при малых значениях эксцентриситета и наклона, вводят следующие комбинации элементов:
е cos я, е sin я, sin і cos Q, sin і sin Q (25)
или аналогичные им. Из вида рядов (22), (23) и свойств коэффициентов Ганзена следует, что координаты х, у, z являются голоморфными функциями этих величин.
§ 2. Уравнения возмущенного движения в элементах
Большинство встречающихся на практике задач небесной механики близко в том или ином отношении к задаче двух тел, и это позволяет решать их методами теории возмущений. Стандартные уравнения возмущенного движения имеют вид
^ = -Ym0-Jr + *7, (26)
где возмущающая сила F зависит в общем случае от г, г и t. Эта сила пропорциональна некоторому малому параметру [А, определяемому конкретными условиями задачи, и общий принцип теории возмущений состоит в отыскании решения уравнений (26) при помощи рядов по степеням |л или последовательностей итераций по этому параметру.
При F=Q уравнения (26) переходят в уравнения задачи двух тел (3), и тогда г, г выражаются по формулам (11)-(17) череа время t и шесть произвольных постоянных, за которые можно принять, например, кеп-леровы элементы а, е, i, Q, со, Wl. Если воспользоваться методом вариации произвольных постоянных, то эти формулы могут быть сохранены и в возмущенном движении цри F ф 0, но величины а, е, і, й, со, Wl будут уже не постоянными, а некоторыми функциями времени, удовлетворяющими определенной системе дифференциальных уравнений. Такие величины называются оскулирующими 20 ЭЛЕМЕНТЫ НЬЮТОНОВОЙ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. 1
элементами. Уравнения для их определения таковы!
= J_f^sinF+y-f),
л VrI — е2 V rJ
vr-
da dt
па
Г2 V1 —
л
de___
dt па
di _ г cos и
~dt
____
dt ~~ na? yi — e^sini
d(d . dQ
_ = _cosl_
[S sin V + T (cos V + cos E)], W.
Г Sin M
¦dt =-/1 -е*[-ж + cosiWJ-
(27)
где полярные координаты г и и должны быть выражены в функции от элементов по формулам задачи двух тел. Вместо двух последних уравнений можно использовать эквивалентные им уравнения
du о • 2 І dQ .
=2 smV-W +
dt
dz ~dt
^cos7 +
пае L
rfjt
+ 7-(1 + у) sinV],
1 -j. у і —e* dt
+ 2/1-
e* sin
1 dQ
2 dt
-S
2г
na?
S, T, W — это составляющие возмущающего ускорения .F по радиусу-вектору г, по трансверсали и по нормали к плоскости орбиты. Таким образом,
