Релятивистская небесная механика - Брумберг В.А.
Скачать (прямая ссылка):
ЭЛЕМЕНТЫ НЬЮТОНОВОЙ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ
§ 1. Задача двух тел
Ньютонова небесная механика основана на законе всемирного тяготения Ньютона (теория ньютоновского потенциала) и трех законах ньютоновой механики (теория движения). Простейшей задачей классической или ньютоновой небесной механики является задача двух тел. Дифференциальные уравнения движения этой задачи в некоторой неподвижной декартовой системе координат имеют вид:
Tl — Tl ГI = -TW2-
T2= — T Ttil
г»
Tz — T і
(1)
где Tai — массы тел, Vi — их радиусы-векторы (i = 1, 2)f г = IV1 — 7*21 — взаимное расстояние между телами и Y — гравитационная постоянная. Если вместо V1 и г2 ввести в качестве неизвестных абсолютные координаты нью-тонового центра инерции системы тел
JTiiTi -4- JTizTi .
V0= -—-, Tn0 = Tnl + т2
и относительные координаты первого тела относительно второго
Г = T1- г2, то система (1) распадается на две системы
^0==O (2)
и
^ = -twott- (3) 14 ЭЛЕМЕНТЫ НЬЮТОНОВОЙ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. 1
Ллщшипь о/ййты
Из (2) следует, что центр инерции системы двух тел движется равномерно и прямолинейно (система координат, в которой центр инерции покоится и находится в начале системы координат, называется барицентрической). Система (3) определяет относительное движение тела массы IU1 относительно центрального тела массы т2.
Общее решение системы (3) записывается обычно в одном из следующих трех видов: 1) в виде системы замкнутых аналитических формул, выражающих г ж г как
неявные функции времени t, 2) в виде тригонометрических рядов по кратным вспомогательной переменной, являющейся линейной функцией времени, и 3) в виде рядов по степе-Ллоскрсть ням времени, сходящих-отсшла ся лишь на некотором
конечном интервале изменения t. Третья форма решения употребляется в сравнительно узком классе задач и рассматриваться здесь не будет.
Траекториями задачи двух тел служат конические сечения (прямые линии в вырожденном случае). Для дальнейших целей важен лишь случай эллиптического движения, поэтому движения по параболе или гиперболе здесь также не будут рассматриваться.
Размер и форма эллиптической орбиты характеризуются большой полуосью а и эксцентриситетом е (О ^ е < 1). Положение плоскости движения в пространстве определяется наклоном і и долготой восходящего узла Q (рис. 1). Для ориентации орбиты в плоскости движения служит угол cd — угловое расстояние перицентра от восходящего узла. Вместо этих пяти кеплеровых геометрических элементов, характеризующих траекторию тела, можно пользоваться векторными элементами — вектором площадей с и ортогональным ему вектором Лапласа /:
C = JtXr1 / = (г2 — (rr)r. (4)
Рис. 1. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
15
Выражения (4) представляют собой первые интегралы уравнений (3). Наряду с ними важную роль играет также интеграл энергии
^=^(4-4-)- (5)
Произвольные постоянные, входящие в интегралы (4) и (5), связаны двумя соотношениями
cf = 0, ^m0C2 -J- af2 = T
Для дальнейшего удобно ввести правую тройку единичных векторов Ї, т, направленных соответственно но линии узлов к восходящему узлу орбиты, по перпендикуляру к линии узлов в плоскости орбиты и по перпендикуляру к плоскости орбиты:
(cos Q\ /— cos і sin
sin QJ1 m = I cos і cos Q
0 J \ sini
(6)
Через PhQ обозначим единичные векторы, направленные соответственно по линии апсид к перицентру и по перпендикуляру к линии апсид в плоскости орбиты
P = I cos (о -J- т sin со, Q = — I sin со -J- ш cos со. (7) Тогда
с = Y~ym0рк, f = чт0е1>, (8)
где р = а (1 — е2) — параметр орбиты, Р, Q, к — правая тройка ортов. Полярнымй координатами тела тг в плоскости движения служат радиус-вектор г и аргу мент широты и — угловое расстояние, отсчитываемое от восходящего узла. В функции от г и и
г = T (Ї COS U -J- Wl sin и),
Г = J/r^m? [— г (sin И+Sin (O)-J-Wl(cos U-J-? COS (D)].
(9)
Наряду с аргументом широты и часто используется истинная аномалия V — угловое расстояние, отсчитывав- 16 ЭЛЕМЕНТЫ НЬЮТОНОВОЙ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. 1
мое от перицентра до движущегося тела. Очевидно,
u=V + со. (10)
При переходе к истинной аномалии имеем
Г = ІЛ- рм(H)
1+ ecosK
Г = r(P cosV-f Osin V), г = [- Psin V + Q (cosy + е)}.
(12)
Связь со временем задается трансцендентным уравнением Кеплера
E — е sinE = М. (13)
Здесь эксцентрическая аномалия E связана с истинной аномалией V соотношением
•»-r-ZriNT. <14>
из которого следует
г cos V = a (cos Е — ё), г sin V = a j^l — е2 sin E (15)
и
г = а (1 — е cosЕ). (16)
Средняя аномалия M определяется выражением
M = т + n{t — t0), (17)
где величина SW — средняя аномалия в эпоху t0 — служит шестым, динамическим элементом эллиптического движения, а среднее движение п связано с большой полуосью а третьим законом Кеплера
п2а* = YTTi0. (18)
Совокупность этих формул полностью определяет общее решение эллиптического случая задачи двух тел в функции времени t и шести постоянных интегрирования — кеплеровых элементов а, е, і, Q, со, ЗИ. Явная зависимость ЗАДАЧА ДВУХ ТВЛ
