Релятивистская небесная механика - Брумберг В.А.
Скачать (прямая ссылка):
ЭЛЕМЕНТЫ РИМАНОВОИ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. iI
вектора находится без труда. Действительно, запишем для вектора ак (t) выражение (78)
ак (t + dt)^ak(t) + dak.
Вектор ak (t) — это вектор ак (t + dt), перенесенный параллельно из точки t + dt в точку t. Значит, наоборот, ак (t + dt) можно рассматривать как результат параллельного переноса вектора ак (t) из точки t в точку t + dt. Согласно (44) имеем поэтому
a (t + dt) ж ak (t) - r-jaW.
Пренебрегая бесконечно малыми высших порядков, можно заменить во втором члене правой части а7 на я'и тогда сравнение двух полученных выражений для ак (t + dt) даст по (79) абсолютный дифференциал контрвариантного вектора
Dak = dak + 1 %ajdx\ (80)
Для ковариантного вектора ак параллельный перенос можно определить как такой, при котором не меняется его свертка с произвольным контрвариантным вектором т. е. для параллельного переноса
d(akf)= 0.
Отсюда, используя (44) и учитывая, что — произвольный вектор, получаем формулу параллельного переноса ковариантного вектора
ddj = Tkj^dxi. (81)
Абсолютный дифференциал ковариантного вектора находится теперь без труда;
Daj = da, — Тк^х\ (82)
Параллельный перенос тензора любого строения также можно определить условием неизменности его скалярной свертки с произвольными контрвариантными и ковариант-ными векторами, именно
К § 7] ПРОСТРАНСТВА АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ
77
Применяя (44), (81) и учитывая произвольность векторов г)j, находим формулу параллельного переноса произвольного тензора
d<X = <-а?й - • • • - r^tt1'+ +• • •
•••+ rVti1^r- <83>
Каждому контрвариантному индексу соответствует, таким образом, член типа (44), а каждому ковариант-ному — член типа (81). Для абсолютного дифференциала тензора произвольного строения получаем отсюда
D<X = (1- аІ::\ + • • • + rX:::!^-
- - • • • - dx'. (84)
Как следует из (83), при параллельном переносе тензора его абсолютный дифференциал равен нулю. Используя эту формулу, можно показать, что если взять некоторый локальный репер в касательном пространстве A71 и переносить его параллельно, то координаты параллельно переносимого тензора относительно этого репера не меняются.
Формула (84) может быть представлена в виде
D<X = v<XdxT- (85>
Величины Vrau '"yJ1 обозначаемые часто и как ab''' г, г -jV и. • V
представляют собой тензор с дополнительным нижним индексом и называются абсолютными или ковариантными производными. Их вид для тензора произвольного строения следует из (84). В частности, ковариантная производная скалярной величины совпадает с обыкновенной
Vrfl = ^r, (86)
для контрвариантного вектора будет
Vra*=^+lV, (87) 78
ЭЛЕМЕНТЫ РИМАНОВОИ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. iI
а для ковариантного —
^raK = — Trfcfl8. (88)
OX
Обычные правила дифференцирования суммы, произведения и т. п. распространяются и на абсолютное дифференцирование. Важно также отметить, что операция свертывания перестановочна с операцией абсолютного дифференцирования.
§ 8. Аффинная связность и геодезические в римановом пространстве
При рассмотрении объектов связности в римановом пространстве Vn оказывается возможным наложить два условия:
1) отсутствие кручения, т. е. Tij = Tyi;
2) неизменность скалярного произведения двух векторов при их одновременном параллельном переносе вдоль какого-либо пути (в частности, постоянство скалярного квадрата параллельно переносимого вектора).
Смысл второго условия состоит в сохранении метрических свойств (длин и углов между векторами) при параллельном переносе. В силу этого условия d (I Tj) = 0 при параллельном переносе векторов | и Tj. Учитывая формулу (54) для скалярного произведения векторов и формулу (44) параллельного переноса, находим, что это условие эквивалентно следующему:
(?^-^rfi-^rr1W = O.
Следовательно, выражение в круглой скобке должно быть равно нулю, а отсюда на основании первого условия получаем для Tij то же выражение (53), что и в криволинейных координатах в Rn.
После введения объектов связности все формулы абсолютного дифференцирования становятся применимыми и в Vn. Важно отметить, что абсолютный дифференциал как ковариантного, так и контрвариантного метрического тен- АФФИННАЯ СВЯЗНОСТЬ
79
зора равен нулю. Действительно, в силу (51) и (49)
=?-?;-iV^0-
Поскольку как в Vni так ив Ln
v,sj = rU- - HjSj = о,
то на основании связи (19) между ковариантными и контрвариантными компонентами метрического тензора должно быть также
Vfcgii=O.
Так как абсолютные дифференциалы Dga и Dgi* равны нулю, то операции поднятия и опускания индексов перестановочны с операцией абсолютного дифференцирования.
Будем теперь рассматривать геодезические линии в Vn. На основе определения, данного в предыдущем параграфе, кривая Xі = Xі (?,) является геодезической, отнесенной к каноническому параметру X1 если
< -«.
откуда и следуют уравнения (75). Однако геодезическая линия в Vn обладает дополнительными по сравнению с Ln свойствами. Прежде всего, поскольку в Vn параллельно переносимый вектор сохраняет свою длину, то вдоль геодезической имеем
