Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
f(t>x) — F{t, х, Л) = ^5 +
dD
1 с Я2(г, х, Л)
+ 2ЙГ).....z"—"t А .
D
где Fi = dFjdz, a D описано выше. Заменив 1 j{z — t) его выражением из формулы (2), получим f — Q-P-j-P, где
Q(t, х, Л) = -5^ ^ (z - О Р (z, Л) dz
0D
, 1 f Fi (z, х, Я.) J_ t j=
"*¦ 2ni ) (z-t)P (z, A.) dz Л dz'
D
*(t. *. = F(z, x. dz +
dD
2яГ S Fi (Z> X’ P \ziX) dz A dz'
64
6. ТЕОРЕМА ДЕЛЕНИЯ
Знаменатели не обращаются в нуль на dD, и нужно показать, что вторые интегралы определяют дифференцируемые отображения. Для этого достаточно показать, что функция
О при (z — t)P (г, Л) = О,
F* *Z' Х' ^ при (2 — t) Р (2, К) Ф О
g{z, t, х, I) --
(z-t)P(z, X)
дифференцируема. В тех точках, где знаменатель не обращается в нуль, каждая частная производная функции g является суммой функций вида Fq{z,x, Л)/[(г — t)P{z, Я)]6, где FQ имеет нуль бесконечного порядка там, где Im 2 = 0 или Р {г, Л) = 0. (Используйте тот факт, что знаменатель комплексно аналитичен по всем переменным, и поэтому
dRe г {(z-t)P (z, X) ) = dz ((z-<)P(z, Л) ) ’
а правило дифференцирования дроби можно применять формально. Аналогичные формулы верны и для других переменных.) Поскольку F0 имеет нуль сколь угодно высокого порядка на множестве {1тг = 0}, то для сколь угодно большого I можно написать F0{z, х, \) = {lmz)1 Fi(z, х, Л). Теперь Fj имеет нуль бесконечного порядка на множестве {Re Я (2, Л) = = 1шЯ(г, Л) = 0}, и, следовательно, можно написать
Л = (Re Р (2, Л))' F2 (2, х, К) + (Im Р (2, Л))' F3 (2, х, А)
для сколь угодно большого I. (Заметим, что (ReP, Im Р) могут служить локальными координатами, см.
5.4.)
Ясно, что если (2, t, х, Я) стремится к точце, где Р • (г — /) = 0, то
То же самое верно и для второго слагаемого • (Im Р)1 • (Im г)1
((г-/)•/*)* ’
S. ТЕОРЕМА ДЕЛЕНИЯ
68
Следовательно, при стремлении знаменателя к нулю все производные g стремятся к нулю. Отсюда видно, что g дифференцируема и ее производные равны нулю в тех точках, где знаменатель равен нулю (см. задачу в конце этой главы). Таким образом, мы до* казали дифференцируемость Q » R. Если Я вещественно, а функция / веществекнозначна, то можно взять вещественную часть равенства
fit, x) — Q(t, х, Я)-P(t, Я) + #(*, х, Я)
и получить формулу деления с вещественными частным и остатком:
f=~{Q + Q)P + j{R + R).
Остается доказать лемму о продолжении. Ее доказательство аналогично доказательству теоремы Бо* реля и проводится в два этапа.
5.11. Лемма. Пусть JR с С — стандартное вложение и /: R XRrt-> С — дифференцируемое отображе-fute (с носителем в единичном шаре). Тогда существует дифференцируемая функция F: С X Rn->C, такая, что ¦F i R X Rn — / и dFjdz: С X R"-* С имеет нуль бесконечного порядка на мноясестве R X R".
Доказательство. Пусть z*=x+iy. Положим
00
/-о
где q>(у) 1 при |у[<‘/а, ф(у) =*0 при |у|> t и по-
следовательность {f/} возрастает столь быстро, что ряд почленно дифференцируем. Тогда F (х) *= / (х) при вещественных х. Tax как
2 d/dz =* Щдх +1 д/ду *» i (— i д[дх + d/cty),
66
6. ТЕОРЕМА ДЕЛЕНИЯ
ТО
? О ¦Й’)/+' /'(*)-^,[ф(*/+г0)-ф(*/,0)1+
/-О
/-о
и в каждом из этих двух рядов каждый член обращается в нуль в некоторой окрестности точки у —О, поскольку ф (tj • у) локально принимает постоянное значение 1. В
Доказательство леммы о продолжении. Пусть заданы дифференцируемая функция с компактным носителем /: R X R -> С и многочлен Р: СХСР-*С вида
Р(г, Я) = 2p + EVp_/-
Мы хотим продолжить f до функции F: CXR"X ХСР->С, такой, что dFfdz имеет нуль бесконечного порядка на множествах {lmz = 0} и {Я = 0}.
Проведем индукцию по степени р многочлена Р. При р — О нужно продолжить f так, чтобы F? имела нуль бесконечного порядка на вещественной оси. Это возможно согласно лемме 5.11.
Предположим теперь, что лемма о ьродолжении верна для р—1. Сделаем в СХ^ замену координат таким же образом, как и раньше:
(г, Я^ Яр)ь->(2, Я^ ..., Яр-j, P(z, Я)).
Обозначим новые координаты через {г, Я', ц). В новых координатах оператор djdz принимает вид
где Р' — производная Р (Р' не зависит от Яр).
Используя теперь индуктивное предположение (примененное к Р'), можно найти дифференцируемую
S. ТЕОРЕМА 1ИЯ
67
комплекснозначную функцию v (г, х, Я'), обладающую следующими свойствами:
(i) v(t, jc, Я') = /(t, х) при /eR;
(ii) dv{dz имеет нуль бесконечного порядка на множестве {lmz = 0} и на множестве {P'(z, Я')=0).
Положим теперь
Здесь ф—функция, определенная в (5.11), а последовательность (tj) возрастает столь быстро, что ряд можно дифференцировать почленно (заметим, однако, что /о = 0). Продолжим члены ряда дифференцируемым образом на множество {Р'=0}, положив их там равными нулю. На множестве {lmz = 0} член ряда с индексом /«=» 0 равен о, а все остальные имеют нуль бесконечного порядка. Из (ii) и тождества ди/дц з= 0 вытекает, что LF имеет нуль бесконечного порядка на множестве {lmz = 0} и что справедливо равенство о !{lmz = 0} = f.
