Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
6.9. Упражнение. Докажите, что у конечного ростка f: (R", О)-*^'’, 0) найдется такой представитель f, что полный прообраз каждой точки Rp при отображении f состоит не более чем из конечного числа точек. Указание: сначала покажите, что конечно множество f~l (0). Затем используйте тот факт, что росток, «близкий» к f, также конечен (см. гл. 13).
6.10. Из подготовительной теоремы в форме Маль-
гранжа легко вывести обобщенную лемму деления. Пусть росток E(t, хх........xj р-регулярен относительно t. Рассмотрим росток j {t, xt...........хп) =»
*x), ..............xj. Из р-регулярности F Сле-
дует, что
{,F> *Ii xit (л+1)‘
Если ввести на B(n-f-1) структуру В (п + 1)-модуля с помощью отображения f*, то, согласно подготовительной теореме, полученный модуль будет конечно
порожден, а именно ростками 1, /, t*......1?~1. Таким
образом, для любого g&B{n-f-1) имеем
Sift *i* • • • t *л)sse §t(F(i, x), Xj, ..., x„) t , i-i
где St “ некоторые ростки из В (п -f-1). Если мы теперь обозначим ?,(0, х) через ht(x), то g,(т, х) —
— hi (х) “ т • (т, х), и поэтому, заменяя т на F,
получаем
S (*, ......*«)-1) W + f(*. х) • Q(/, х),
где Q(f, *) = ? ft, (F (/, х), х) / о"1, i-i
80
6. ПОДГОТОВИТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
Для любого <§Г (и)-модуля А легко определить В (п)• модуль А, и тогда можно будет сформулировать теорему типа теоремы Мальгранжа даже в более общей ситуации, рассмотренной Мезером.
6.11. Упражнение. Пусть J: (Rn, 0)-+-(Rp, 0) — дифференцируемый росток и dim (If (n)Jf*m(p)'& {n))—k. Докажите, что В (р)-модуль 8 (п) порожден мономами степени < k от координат на R". (Указание: лемма Накаямы.)
7. СИММЕТРИЧЕСКИЕ РОСТКИ
Цель этой главы — продемонстрировать в одном простом случае, как работает подготовительная теорема.
Напомним, что в гл. 5 мы определили элементарные симметрические функции (— I)*crf (хи ..., хп), /=1, ..., п, с помощью формулы
П (* — xt) = ? tlan-t (х), сг0 — 1.
*-1 i-0
п
В частности, У, х{.ап_.(х) = О, или t-o '
П
xf=-Zx)on.t(x).
Обозначим через сг: отображение, коорди-
натными ФУНКЦИЯМИ КОТОРОГО ЯВЛЯЮТСЯ фуНКЦИИ <Г/
для i=l, ..., п. Из написанного выше равенства следует, что xf е a*m(n) • 8 (п). Следовательно, всякий моном от переменных xt, хотя бы один показатель которого ^ п, лежит в а*т (п) - 8 (п). Отсюда следует, что для к^п2
m (п)к с: а*ш (п) • 8 (п).
Поскольку мономы степени < k порождают векторное пространство 8(n)lm(n)k, из подготовительной теоремы вытекает следующая лемма.
7.1. Лемма. Мономы степени < п7 порождают 8 (п) как модуль над кольцом ростков вида f (ot, ..., о„). 1
Эта лемма приводит к такому определению и следствию.
7.2. Определение. Росток Jg8{ii) называется симметрическим, если для любой перестановки я мно-
«2
7. СИММЕТРИЧЕСКИЕ РОСГКИ
жества {1, л} справедливо следующее равенство, понимаемое как равенство ростков:
Цхи • ••, JC/i) s== $ (Хя(1), • ••» Хя(п))* .
7.3. Теорема (Глезер). Всякий симметрический росток может быть записан как дифференцируемые! росток от элементарных симметрических функций.
Следовательно, росток f симметричен в том и только том случае, если найдется дифференцируемый росток g^&(n), такой, что f = g°d.
Доказательство. Пусть фь ..., срг — мономы степени < л2 от координатных .функций х%. Пусть f симметрична. По лемме,
/(*)== ?ф/М • gt{o(x)).
Обозначим через ©(л) группу перестановок множества (1, ..., л). Тогда, поскольку / и at симметричны,
Г
f (*) = — ^ ^ ф7 (хя(I,, .. •, хя(п))^ 8i (а (х))
/-1 Чяез® (л) J
и многочлены Ф/(*я«>» *п<*>) оче*
видно являются симметрическими. По основной теореме о симметрических многочленах (Ленг, Алгебра, «Мир», М., 1968, гл. V, § 9), получаем отсюда, что
Pt(x) = qt(a(x))
для некоторых (однозначно определенных) многочленов qt. Следовательно,
Г
I (х)—¦Т, qi№ ’ q! ¦
/-»
7. СИММЕТРИЧЕСКИЕ РОСТКИ
83
7.4. Упражнения. 1. Пусть f^8(n) и при
f{X\, . .., Хп) == f {Xi, . .., Х( — I, ““ Х{, X/ + i, ..., х„).
Покажите, что f (х) «= g (х*, ..., х*) для некоторого g <= 8 (п).
2. Найдите базис кольца многочленов от п переменных, рассматриваемого как модуль над кольцом симметрических многочленов. (См. Artin, Galois theory.)
8. ОТОБРАЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ В ПЛОСКОСТЬ
Литература: Н. Whitney, On singularities of mappings of Euclidean spaces I, mappings ot the plane Into the plane, Ann. of Math., 62 (1955), 374-410.
Б. Мальграиж, Идеалы дифференцируемых функций, «Мир», М., 1968.
Дж. Милнор, Теория Морса, «Мир», М., 1965.
Р. Нараснмхан, Анализ на действительных и комплексных многообразиях, «Мир», М., 1971.
