Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
Вычислять LF в общем случае можно почленно:
Заметим теперь, что функция ф локально постоянна в окрестности множества {ц = 0}, поэтому все члены ряда локально обращаются в нуль н, значит, LF имеет нуль бесконечного порядка там, где ц = 0. Доказательство специальной леммы деления окончено. S
68
& ТЕОРЕМА ДЕЛЕНИЯ
5.12. Упражнение. Пусть А — замкнутое подмыо* жество в R" и f: R"->-R — отображение, обладающее следующими свойствами:
(») /|Л=0,
(10 отображение f i (R" — А) дифференцируемо» (йО если а —граничная точка А, то Um Iff (х)=О
х-*а, х<?А
при любом а*={аи а„).
Докажите, что f дифференцируемо.
6. ПОДГОТОВИТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
Литература: та же, что к гл. 5.
6.1. Определение. Дифференцируемый росток f: (R X R*. G)->R: {t, x)>-*f (/, x) называется p-peey лярным относительно координаты t, если f |R X {0} е* е ш<1)р и 9fem(l)p+‘. Другими словами,
Ш <9—??(о,о)- ... -~rf(o, о)-о.
В терминах струи ростка ? это условие означает» что f {/, 0) = + (члены более высокого порядка), аФ0.
6.2. Замечание. Если / es#{п + 1) a f = i(/) ?= 0, го существуют линейный автоморфизм А пространства Rn+I и целое число р, такт, что росток }*>& р-ръгулярен. В качестве р можно выбрать число, опре* делаемое условиями ? е m (я + \у, } ф m (ft + l)p+1i причем такое р — наименьшее из возможных,
Доказательство. Имеем f **» <р(х„ .... xft+i) 4* + ф (*«, ..., хп+1), где ф 0 — однородный многочлен степени р и ^ем(п+ 1)р+|. Выберем такое а=* «*(в|, fln+i)^0, что ф(а)^0. Возьмем линейный
автоморфизм A: R*+1 -¦R',+1, удовлетворяющий уело* вию А(1, 0, 0)®=*а. Тогда
f *^0, 0) = f (fa,, ..tan+1)51
70
6. ПОДГОТОВИТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
Теперь мы обратимся к утверждению, сформулированному в предыдущей главе.
6.3. Теорема деления (Мальгранж), Пусть J: (RX X R". 0) -*¦ R — росток, р-регулярный относительно первой координаты; тогда существуют такие ростки и,,..., йр е m(rt) и такой обратимый элемент Qe
+ I), что
f =¦= Q • Яц, где Ри (/, x) = tp+ й, {х) f~l.
Как было замечено раньше, это означает, что с точностью до умножения на обратимый элемент всякий росток из<Г(« + 0. имеющий ненулевую струю, в подходящей системе координат превращается в отмеченный многочлен с коэффициентами из 8 («). Здесь 8 (гс) сг 8 (п + 1) — подкольцо ростков, не зависящих от первой координаты.
6.4. Следствие (обобщенная лемма деления). Пусть f, §^8{п-\- 1), причем \ р-регулярен. Тогда существуют обратимый элемент Qei?(n-f 1) и ростки
(п), /= 1.....р, такие, что
g = Q-J+Rh, где RA (/, х) = ? hj (х) f4.
1-\
Итак, вместо того, чтобы делить на многочлен, можно делить ка произвольный р-регулярный росток таким образом, чтобы получать в остатке многочлен степени <р с коэффициентами из 8(п).
Доказательство следствия. По тефреме деления f -= Qi - Ри, где Q, е 8 [п + 1) — некоторый обратимый элемент и Ри &8(п) И — некоторый отмеченный многочлен. По специальной лемме деления
+ где Rh (/, х) « Д! Я, (д
0. ПОДГОТОВИТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
71
(мы положили в специальной лемме деления Я/» = «/(*)). Следовательно,
# = (№)• I
Доказательство теоремы деления. Рассмотрим снова коэффициенты Я = (X,.......Хр) е Rp «общего» много-
члена как независимые переменные. По специальной лемме деления (деление с остатком), получаем
(1) f (U х) = Q, (/, Я) • ?(/, Я) + R(t, х, Я),
?(*. Я.)=?я/-/, где Я0= 1,
I-Q
|(/, *, *)=?я;и, я)*р-'.
Задача теперь состоит в том, чтобы подставить вместо Я/ специально подобранные ростки й/(*), так чтобы ростки Rf {х, йj {х)) ?= 8 (я) стали нулевыми. Заметим, что росток f р-регулярен относительно /. Из этого вытекает, что
(2) Qi(0, 0, 0)=^0, Я, (О, 0) = 0,
(3) (0, 0) = 0 при i < /,
(4) |^ (0, 0)^0.
Доказательство. (2) Подставим Ь (1) * = Я — 0; получим
?(/, 0) - Q (<, 0. 0) • Я, (0, 0) Г*'.
Поскольку эта функция имеет нуль в точности ао* рядка р, из этого равенства следует (2).
(3) и (4). Продифференцируем (1) по Я^ при х=* =*=Я = 0. Получим
0 - е~' • Qi (t. 0, 0) + f • (/, 0, 0) + ? (0,0)
1-1
72
». ПОДГОТОВИТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
По модулю членов порядка р это равенство при*
нимает вид
(5) 0 (О+
где </ (0) «И* 0 согласно , (2). Мы получили уравнение,
связывающее ростки от одной переменной i и рас-
сматриваемое в #(1)/т(1)р?* R[f]/(*p).
Случай I < j. Рассмотрим последнее уравнение по модулю tp~l для фиксированного /. Получим
Ц т. е. Ал = ~-(0, 0) = 0.
/-<+1
Случай t —}. Уравнение (5) по модулю /°~i+i превращается в уравнение
откуда hu Ф 0.
Приступим теперь к доказательству теоремы деления. Уравнение (2) показывает, что росток (л+1) обратим. Далее, матрица {h{{)=*={dkj/dXt(Q, 0)) имеет треугольный вид с ненулевыми элементами на диагонали. Следовательно, уравнение к{х, Я) = 0 можно разрешить относительно Х{, где мы использовали обозначение
