Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
A: (R"XR", 0)-*Rp,
(х, X)Н-»(Л;(х, X), .... Кр(х, X)).
Это означает, что существует такой росток
й = (иь ..., up): (R", 0) -> (R^, 0>,
что Я (х, й (.v)) = 0. Действительно, по теореме об обратной функции росток
ф: (Re X Rp, 0)-> (R“ X R", 0),
(х, Х)*-*(х, h(x, X))
6. ПОДГОТОВИТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
73
обратим, так как его матрица Якоби в начале координат имеет вид
'1 0
• 0
•
0 1
? А/< -
а и является композицией
(R-, 0) = (R- X {0}, 0) <= (Rrt X Яр, 0)
(R', 0) ч--------- (R* X R*. 0)
projj
Если пздставить й вместо X в (1), то из равенств (2) и h{x, й(*)) = 0 вытекает теорема деления. В
Из теоремы деления выводится один из основных результатов этой книги:
6.5. Подготовительная теорема Мальгранжа (в
SopMe Дж. Мезера). Пусть f‘. (Rn, 0)-+(Rp, 0)-диф-еренцируемый росток, индуцирующий гомоморфизм колец f*: 8{р)—*-8 {п). Пусть А— конечно порожденный 8 (п)-моду ль. Тогда А является конечно порожденным 8 {р)-модулем {8 (р) действует на Ас помощью /*) в том и только том случае, когда вещественное векторное пространство Aj(f*vx (р) •. А) конечномерно.
Доказательство. Заметим, что в наших обозначениях (f*m(p) • А) не отличается от т(р)*Л, так как 8{р) действует на Л с помощью f*.
Доказательство теоремы в одну сторону тривиально: если А конечно порожден над 8{р), то существует эпиморфизм 8 (р)-модулей
®8(р) = 8(р)® ... ®#(р)-+А
/-! . .» ¦" и "
h слйгвемьц
74
в. ПОДГОТОВИТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
и, следовательно, существует эпиморфизм тех же модулей, профакториэованных по действию nt(p):
R* — 0 8 (р)/т (р) -* Л/(Г т (р) • А).
I- I
Другими словами, образующие А над $ (р) одновременно являются и образующими факторпростран-ства И/(/*т (р) • А) над <В (р)/т (р) = R').
Обратное утверждение весьма нетривиально и составляет, в сущности, содержание теоремы. Однако мы уже проделали трудную часть работы, и сделать оставшиеся три шага —чистое удовольствие.
Шаг 1. Пусть п — р + 1 и
J: (R X R", 0) -»(Rp, 0),
(/, х)*-*х
— росток проекции на второй сомножитель (частный случай). Выберем конечное число элементов ait... ..., а*е/1, порождающих как А над 8{р-\-1), так и A/(f*m (р) • А) над R. Тогда всякий элемент а е/1 может быть записан в виде к к
о=1с/«/+Е?/, гДе c/sR* z/s/*m(p)*S’(p-f 1).
I /-1
Действительно, а = 1]с/а/'+^ где b А).
В свою очередь Ь — ^уФь где yt&f'm{p). Так как bi — Yiriiai> гДе П/е^(р+ 1). то мы можем положить z7 = ? у,г„.
В частности, представляя в таком виде а» to;, получаем
<<*< = ? (с*/ + Z</W
где
«= R, z„ е Гm (rf) • # (р + 1).
') Здесь н ниже авторы часто пишут, что элементы а,.ап
некоторого модуля А порождают фактормодуль А/В, понимая под »тим что смежные классы ai 4* В,.... а«+ В порождает А/В.— Прим. перев.
в, ПОДГОТОВИТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
76
Обозначим через (6ц) единичную матрицу и пере* пишем эти уравнения в виде
{t6ii — С/у — ztj) • а = 0, где а = (а,......ак).
Положим bii = t6u — Сц — Zf/. В линейной алгебре доказывается существование такой матрицы (В//), что
(В,,) •(&/,) = det (&,,)¦ (6,,).
(В качестве (Bfy) нужно взять транспонированную матрицу алгебраических дополнений элементов матрицы (&,/).) Положим Д(*, *) = det (to,/— ctf — гц). Тогда Д-а = 0. Определитель А есть функция от {,t, j^eRXR*'. при * = 0 он превращается в много* член от t со старшим коэффициентом ±1. (Так как zu(t> 0) = 0, то при х = 0 это есть характеристический многочлен числовой матрицы (ct/).) Отсюда получаем, что Д ^-регулярен относительно t в точке (t, 0) при некотором q^k.
Равенство Да = 0 означает, что ДЛ = 0, и потому А есть модуль над 8 (р -j- 1)/Д • 8 (р -f 1). Поскольку функция Д ^-регулярна, из обобщенной леммы деления следует, что 8 (р)-модуль 8 (р 4- 1)/Д • 8 (р + 1) порожден конечным числом элементов, а именно элементами 1, t, . ., tQ~l. Далее, так как модуль А конечно порожден над кольцом 8 (р 4- 1)/Д -8{р+ 1), которое в свою очередь является конечно порожденным 8 (р)-модулем, то модуль А конечно порожден над 8 (р).
Шаг 2. Пусть f: (RB, 0)->(R/’, 0) — росток ранга п. По теореме о ранге, существуют координаты, в которых f задается формулой (*|.........xn)i-*-(xu xnt
0, 0). Для канонического р.ложения R"c R* всякий
дифференцируемый росток f: (Rn, 0)-»>R может быть продолжен на (R^.O). Поэтому отображение f*: 8 (р)-* ~*8{п) в этом случае сюръективно. Отсюда вытекает, что если конечное число образующих порождает модуль А над 8 (п), то эти же образующие порождают модуль А над 8(р).
76
6. ПОДГОТОВИТЕЛЬНАЯ tEOPEMA
Представим теперь произвольный росток f: (Rn, О)-*---¦•(R , 0) как композицию
