Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
Дифференцируемые ростки и катастрофы
Автор: Брёкер Т.Другие авторы: Ландер Л.
Издательство: М.: Мир
Год издания: 1977
Страницы: 208
ISBN 5-80100-174-3
Читать: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
Скачать:
Т.Брёкер, ЛЛандер
Дифференцируемые ростки и катастрофы
Научное издание
Лицензия ЛР N5024851 от 17.07.93 г.
Подписано к печати 21.01.97 г. Формат 60x88/16 Печ.л. 13. Заказ N) 318.
Издательство “ПЛАТОН"
400062, г.Волгоград, ул.Кирова, 71/15
ISBN 5-80100-174-3
© Th.Brocker, L.Lander © Перевод А. Г. Кушниренко
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Предметом книги Брёкера и Ландера являются критические точки семейств гладких функций, зависящих от параметров. Исследование таких семейств часто встречается в различных гриложениях. Книга Брёкера и Ландера является первым в мировой литературе учебником по этим вопросам, написанным с большим вниманием к читателю, у которого предполагаются лишь очень небольшие математические познания. Для более глубокого изучения общей теории особенностей гладких отображений Уитни —Тома — Мезера следует обратиться к учебнику М. Голубиц-кого и В. Гийемина «Устойчивые отображения и их особенности», недавно вышедшему в русском переводе.
В. Арнольд
Жил некогда Чжу,
Который учился убивать драконов,
И отдал все, что имел,
Чтобы овладеть этим искусством.
Через три года Он достиг мастерства,
Но, увы, ему ни разу не представился случай Применить свое уменье.
Чжуан-цзы')
И тогда он начал учить других Искусству убивать драконов,
Рене Том
') Подстрочный перевод с китайского см. в книге: Атеисты, материалисты, диалектики Древнего Китая, М., 1967, стр 310.— Прим. ред.
ПРЕДИСЛОВИЕ
В летнем семестре 1972 г. я прочитал во Фрей-бургском университете курс лекций по .локальной теории дифференцируемых отображений. Эти лекции составили основу первых тринадцати глав настоящей книги. Следующие три главы были написаны для летией школы, организованной обществом The Studi-enstiftung des deutschen Volkes. Mr и студенты помогли мне избавить первый вариант рукописи от многих ошибок, после чего Л. Ландер перевел ее на английский. Он сделал также большое число улучшений и исправлений и написал последнюю главу вместе со всеми ее рисунками и библиографией. В последних главах обсуждается тема, ради которой, собственно говоря, и была написана эта книга: классическая теория катастроф.
Мы оба широко использовали материал из курса лекций по теории катастроф, прочитанного К. Енихом в Регенсбурге в зимнем семестре 1971/72 г. Эти лекции содержали большую часть информации и рисунков, представленных в гл. 17.
Небольшое число экземпляров немецкого текста настоящей книги было напечатано для наших студентов под названием: Дифференцируемые отображения (Der Regensburger Trichter, Band 3, Differenzier-bare Abbildungen).
Ниже читатель не найдет никаких новых результатов или методов. Мы задались целью облегчить студентам, хорошо освоившим основные курсы алгебры и анализа, изучение недавних рабссг по дифференцируемым отображениям и, в частности, помочь им овладеть тайнами теории катастроф.
О чем же эта книга?
Пусть f: — дифференцируемое отображе-
ние. Что можно сказать о множестве 1 {0}* т- е. о
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
множестве решений нелинейной системы уравнений? Мы начинаем с одной теоремы Уитни и теоремы Сарда, приведенных в 2.1 и 3.3, и, в частности, обнаруживаем, что интересные структуры могут быть найдены только для отображений «общего положения». Особый интерес представляют так называемые устойчивые отображения. Отображение f: Rn-*R* называется устойчивым, если для любого малого возмущения fi:Rn-*-Rft существуют обратимые преобразования А, н й2, такие, что диаграмма
коммутативна. Естественно ожидать, что формы, существующие в природе, должны описываться устойчивыми отображениями, поскольку все в природе подвергается малым возмущениям. Является ли «почти всякое» отображение устойчивым? Как нужно интерпретировать понятие устойчивости?
Во всяком введении в анализ объясняется, что любой дифференцируемый росток f: (R, 0) -*¦ (R, 0) с ненулевым рядом Тейлора в нуле можно преобразовать в первый ненулевой член этого ряда с помощью подходящей замены координат. Что происходит в высших размерностях? Когда росток дифференцируемого отображения определяется (с точностью до замен координат) конечным отрезком своего разложения Тейлора?
Таковы некоторые из вопросов, обсуждаемых в этой книге. Быть может, они побудят читателя серьезно заняться изучением и развитием некоторых, идей Р. Тома.
R
а f+Д П*
Регенсбург, весна 1974 г.
Теодор Брёкер
1. РОСТКИ ПОСТОЯННОГО РАНГА
Литература: Ж- Дьедонне, Основы ссвременного анализа, «Мир», М., 1964.
1.1. Пусть А — произвольное подмножество в R". Отображение f: j4->R* называется дифференцируе-мым, если существуют открытое множество U с: R™ и отображение F: U-*¦ Rfc, такие, что AczU, F[A = f и все частные производные F всех порядков существуют и непрерывны.
