Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
а именно ^ ~ - [г — ?)-' dz Д dz, стремится к нулю,
поскольку dz Adz —— 2 i dx A dy = — 2 ir dr dQ и |z— —r~\ Следовательно,
« 2я
J... где 2» J -^-(С + rete)d6
< c. |
Наша цель — научиться доказывать утверждения следующего типа:
Пусть f; (Rn+1, 0)-»-R — росток с ненулевой струей. Тогда на Rn+I можно выбрать такие координаты (/, *i, .... *„), что
x)-P(t, х),
где
Q(0, 0)^=0, т. е. росток Q обратим в ЙГ(п+1)>
Р (/, x) = tp+ t h (х) tp~‘, I, (0) = 0,
следовательно, Ре& (п) [<].
Таким образом, если росток из ЙГ(п+1) имеет ненулевой ряд Тейлора, то, с точностью до умножения на обратимый элемент, он в подходящих координатах может быть записан как многочлен Р е € $ (п) [/], коэффициенты которого (кроме старшего, равного 1) лежат в ш (я). (Такой многочлен ЯейГ(я), у которого старший коэффициент равен 1, а остальные коэффициенты К/ лежат в ш(п), в дальнейшем будет называться отмеченным.) В аналитическом случае этот факт можно использовать для того, чтобы индуктивно выводить различные утверждения, относящиеся к & (п), из соответствующих утверждений для многочленов.
8. ТЕОРЕМА ДЕЛЕНИЯ
61
Доказательство сделанного выше утверждения, которое мы позже сформулируем как теорему, начиг нается следующим образом. Мы показываем, что произвольный росток f е<?Г(л-Ь 1) можно разделить на росток произвольного отмеченного многочлена Р е 8 (п) [/] с остатком вида
R(t, *)=Z at(x)f4t
/-I
т. е. f ^Q’P + R.
Далее мы показываем, что найдутся такие коор* динаты и такой многочлен Р, что росток Q обратим, а Я®® 0. Чтобы упростить доказательство, мы рассма. триваем «общий» многочлен Р с коэффициентами Xft которые сначала вводятся как новые переменные, не зависящие от х. Функция f не зависит от этих новых переменных, которые могут принимать комплексные значения. После деления на «общий» многочлен вме-сто подставляются подходящие ростки Л, (х) из 8 (п).
Следуя этому плану, мы должны доказать такую теорему.
6.9. Специальная лемма деления. Пусть ?: (R X X R", 0) ->¦ С — дифференцируемый росток и Р: (R X X Ср, 0) —* С — росток «общего» многочлена
P(t, *)-/'+? vp‘/*
/-i
Тогда существуют такие дифференцируемые ростки Q, R: (R^'XC", О)-*С, где
R(t, х, М=?Я/(*, i-i
что возможно следующее деление с остатком:
J(t, x)*=Q(t, х, k)-P(t, \) + R(t, x, X).
При этом если f и "К вещественны, то Q и R можно выбрать вещественными.
62
5. ТЕОРЕМА ДЕЛЕНИЯ
Начнем доказательство с разбора классического случая. А именно, предположим, что при любом фиксированном х функция f(t, х) аналитически зависит от / еС (как обычно, мы считаем, что / — представитель /).
Интегральная формула Коши дает
(!) =
dD
Здесь и ниже через D обозначается стандартный диск, содержащий точку 0 и все корни многочлена P(t, К) при достаточно малых А,. Такой диск существует по доказанной ранее лемме 5.1.
Многочлен г {г, t, Ц от переменных z, t, определяемый формулой
Р(г.Х)-Р(1Л) . . .
-----jzrt------“ r (z> *).
аналитичен по совокупности переменных и как многочлен от t имеет степень < р.
Из формулы для r(z, /, А,) .получаем тождество между рациональными функциями:
/о\ ^ __ Р ^>) I r (f* z> X)
W г-t (z-t)-P (z, X) P (z, X) '
Подставим (2) в (l) (знаменатель не обращается в нуль на dD, если / и ^ достаточно малы). Получим голоморфную (аналитическую) лемму деления:
f{t, x) = P(t, А,) • jj (2 J р^ Х) dz-f
dD
(Ж *, *) + —
~ 2л/
dD
R (t, X, A,)
Действительно, — многочлен от t степени < p (подынтегральное выражение — многочлен от t, коэффициенты которого интегрируются по г). Доказательство голоморфной леммы деления окончено. |
5. ТЕОРЕМА ДЕЛЕНИЯ
63
Чтобы доказать аналогичный результат в дифференцируемом случае, воспользуемся приведенным выше вариантом интегральной формулы Коши и следующим утверждением.
5.10. Лемма о продолжении. Пусть f: RXRn_> -*С — дифференцируемое отображение с носителем в единичном шаре. Тогда существует дифференцируемое отображение
F: CXRaXCp-*C,
такое, что
(1) F{t,x,\) = f{t,x) для {f,x)e Rn+I с С X R", (И) dFfdz имеет нуль бесконечного порядка на множестве {(z, х, Я) | Im z = 0} и на множестве {(г,-х, k)\P{z, X) = 0}.
Последнее условие означает, что в точках этих множеств отображение dFjdz имеет нулевой ряд Тейлора.
Предположим, что лемма о продолжении справедлива, и вернемся к доказательству леммы деления. По интегральной формуле Коши
