Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
fl VC. t/>
где fi..../* —дифференцируемые функции.
4. РОСТКИ И СТРУИ
41
Эта теорема имеет большое число приложений. Кольцо Ш (я) обладает структурой R-алгебры. Дифференцированием § (п) называется линейное отображение X: 8{ti)-+ R, удовлетворяющее условию
X(^) == XШ • 2(0) + ДО) • X(g).
В частности, Я(1) = Х(1 • 1)==* Jf(l) + A'(l), следовательно, .Х(1) = 0 и .?(с) = 0 для любой постоянной функции.
Дифференцирования образуют векторное пространство. Далее, справедливо следующее утверждение.
4.3. Теорема. Отображения д/дх{ (0: <ЗГ(я)-> R, f df/dxi (0) образуют базис векторного пространства дифференцирований & {п).
До&гзатбльство. Сначала установим линейную независимость. Предположим, что
1 dxi
t—1 тогда
i-i
:0;
i-i
Теперь докажем, что векторы d/dxi |0 порождают все пространство дифференцирований & (п). Пусть X—некоторое дифференцирование и X (х{) — Л*. Тогда
i-i 1
о
также является дифференциро-
ванием и Y {х{) =» 0. Всякий росток f е # (га) можно записать в виде f*“f(0)+ Отсюда
i
- 0 + Z Y&i)• ft (0) + ZxM - у til) -о,
42
4. РОСТКИ И СТРУИ
Следовательно,
*=?>'-3§7l- ¦
(-1 * 0
4.4. Обозначения. Пусть <z = (<i|, ..., а„) (соответственно (а, р) = (а,....а„, р„ ..., р*)), щ, ру €= N (J {0}.
Положим
а! = а,1 ... а„!,
0! = 1,
| а | = а, -f- ... + а„,
Daf =--------------1
дх“• ... дх1п
<
дх*' ... дх*пду*' ...dylh | а | = порядок Z)°,
(х,
4.6. Теорема. Пусть m (/е) cz <? (п -j- k) — тот же идеал, что и в теореме 4.2. Тогда ш {k)s — *={}eg(n + /е) | Z>°* э/ |R" X {0} = 0 для всех а и всех р, удовлетворяющих условию |p|<s}. Кроме того, идеал m (/е)* порожден мономами
Доказательство. По определению, ra(k)1 = e?(n+ *)|/ = Zfx ••• /*, . где e=m(A)j, откуда
I X I * < )
немедленно следует второе утверждение. Применяя правило дифференцирования произведения, получаем, что
/e=m(fe)’=$>Do>B/|RnX{0} = 0 при |р|<*.
С другой стороны, если D0, р/1R" X {0} = 0 для всех р, удовлетворяющих условию | р | < s, то / е m(fe)*-1 (это
4, РОСТКИ И СТРУИ
43
доказывается по индукции) и f — X Доста-
lPl-s-1
точно показать, что fpem(A:), т. е. fp | R" X {0} — 0 для всех таких р, что | р | = s —. 1. Если для некоторого ро имеем /pJ R" X {0} ф 0, то D°- &t( =
= ? D'bfi ¦ Ур = Р0! * U * 0 на R" X (0). В
4.6. Заметим, что тп* с: ш' для k^l, и рассмотрим диаграмму
]Ь-\/<? W/ш (п)к *{п) ( [я?
',-1^ гг (я)/ш (л)'
ar(ft)/m(n)-R
Образ ik~l {f) ростка felf(rt) при отображении /*-1 называется (fc — 1 )-струей ростка f и иногда обозначается через f. Факторалгебра ?? {n)Jm (п)к называется R-алгеброй (k — 1 )-струй.
Два ростка определяют (имеют) одиу и ту же Аг-струю в начале координат в R" тогда и только тогда, когда в начале координат совпадают значения всех их частных производных до порядка к включительно. Ясно, что /* (f) = j* [ ^ D дГ - х°) (в скобках
'|«К* '
стоит многочлен Тейлора / порядка к, в нуле) и два многочлена степени ^ к имеют одну и ту же Л-струю » том и только том случае, когда они совпадают.
4.7. Если f е ш (п)\ то говорят, что росток f имеет нуль порядка k (такой росток гмеет нулевую {k — I)-струю). Для обозначения ростка, имеющего нуль по» рядка k, иногда будет употребляться символ о {к).
Мы видели, что всякая Л-струя представляется многочленом степени Такие многочлены можно складывать и перемножать по обычным правилам,
44
4. РОСТКИ И СТРУИ
с той только разницей, что из произведения следует выбрасывать все члены степени > к. В частности,
8 (п)/ш {n)t+i - R [*„ ..., хпУ(х.
где R [хи ..., *„] — кольцо многочленов от переменных хь хп, а xn)t+l — идеал, полученный
возведением в (к + 1)-ю степень идеала, порожденного хи ..., хп.
Итак, }к (f) — многочлен Тейлора / порядка k в нуле.
4.8. Более общим образом, отображение
I9t<s
Индуцирует изоморфизм
S{n+m{k)s+i^S{n)[yu ..., ..............
где через (уи ук) обозначен идеал в & (л)-алгебре &(п)[уи .... Ук], порожденный уи ..., ук.
До сих пор мы не сталкивались с проблемами сходимости. Положим
т{кГ= П n(k)*<=g(n±k).
По теореме 4.5, росток f: (Rrt X R*. 0) -*• R лежит в m (ky° в том и только том случае, когда для любого seN существует представление f — ^ т. е.
в том и только том случае, когда все ростки D^ обращаются в нуль на R" X {0}<
4.9. Теорема (Борель). Пусть ш (А)" cz $ {п + k) — идеал, определенный выше. Тогда отображение
