Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
(iii) f* — изоморфизм.
Доказательство. Ясно, что (g°/)* == /* о g* и id* = id, поэтому * является функтором, переводящим изоморфизмы в изоморфизмы. Следовательно, (i)=#(ii), (iii).
Обратно, гомоморфизм алгебр /*: 8(р)-+8(п) определяет гомоморфизм d(f) векторного пространства дифференцирований 8 (п) в векторное пространство дифференцирований 8 (р), действующий по формуле
d(f)(X) = Xof': 8 (p)->R.
Посмотрим, как действует d (/) на канонический базис в пространстве дифференцирований:
д
дх1
д
(ГФ) — •?<«>•
д
Таким образом, d(f):
*i
/
дх~
I
¦Hl (п\ .
д«! (о
/
Следовательно, матрица d(f) в каноническом базисе совпадает с матрицей Якоби (0)^. Тан как
/‘ — изоморфизм, то и d(f) — изоморфизм. Значит, матрица Df обратима,, и, следовательно, росток f обратим. Аналогично доказывается (iii)=^(i). |
4, РОСТКИ И СТРУИ
53
4.18. Упражнения. 1. Пусть /: R" -> R — дифференцируемая функция, такая, что росток f: (R", 0)-*-R принадлежит m (п)“. Докажите, что функция g: R" -> R, равная нулю в точке 0 и определяемая формулой g(x) — f(x)/\x\ при хфО, дифференцируема.
2. Пусть /: R -> R — дифференцируемая функция, такая, что f{x)*>=f(—x) для всех x&R. Докажите, что существует и единственна дифференцируемая функция g: R+-+R, такая, что /(*) = #(•**)•
3. Пусть /: (R, 0) —> (R, 0) — дифференцируемый росток. Покажите, что /еш(1)‘, /$ёт(1)*+1 в том и только том случае, когда найдется обратимый росток A: (R, 0) —> (R, 0), такой, что
foh(x)= ± **.
(Этот результат дает полную классификацию ростков с ненулевой струей относительно правой эквивалентности) См. 11.1.)
4. Докажите, что если }: (Rn, 0)-*-(Rp, 0) — такой
росток, что гомоморфизм /*: $ {п) сюръекти*
вен, то f — иммерсия.
б. ТЕОРЕМА ДЕЛЕНИЯ
Литература: Л. Хёрмаидер, Введение в теорию функ-
ций нескольких комплексных переменных, «Мир», М., 1968.
Дж. Мезер, Теорема деления для бесконечно дифференцируемых и голоморфных функций, в сб. «Особенности дифференцируемых отображений», «Мир», М., 1968, стр. 198—215.
L. Nirenberg, A proof 6f the Malgrange— Mather preparation theorem, Proc. of Liverpool Singularities, Symposium 1, Springer Lecture Notes 192(1971), 97 — 105.
Б. Мальгранж, Подготовительная теорема для дифференцируемых функций, в сб. «Особенности днффе* ренцнруемых отображений», «Мир», М., 1968, стр. 183 — 189.
Для того чтобы ниже нам не приходилось прерывать ход изложения для всевозможных пояснений, мы начнем .эту главу с нескольких не связанных друг с другом предварительных замечаний.
Первое из них' относится к алгебре.
Пусть {а, 11 — 1, — независимые переменные.
Определим (сг41х = 1, ...,«} с помощью равенства
П П
П (•* — <*<) = ? а^-1, где о0=1.
(-1 ;-о
Выражение (— 1 )*сг,(в!, а„) называется i-й элемен-
тарной симметрической функцией.
Рассмотрим отображение
а: СЛ->СЛ,
(«1.......• ••. сг„).
5.1. Лемма. Для любого е>0 существует такое
П
6 = 6(е) > 0, что из | | < б, i = 1, ,. .,п и У] а,*"-*=0
5. ТЕОРЕМА ДЕЛЕНИЯ
55
вытекает, что |х|<е. Иными словами, если коэффициенты некоторого многочлена стремятся к нулю (кроме старшего, равного 1), то все его корки также стремят^ к нулю.
П
Доказательство. Положим р (х) aiXn~‘ —
1-0
=хп{\ + — + ••• + -рг) (для X ф 0). Если 1*|>в
и ai достаточно малы (меньше, чем 6(e)), то сумма
+-рг мала и (1 + ...) ¦-/= 0. Следовательно,
р{х)ф 0. Таким образом, если р{х) — 0 и достаточно малы, то|х|<е. В
Другими словами, если мы сопоставим каждому многочлену какой-нибудь его корень, то отображение, сопоставляющее коэффициентам многочлена (кроме старшего) этот корень, непрерывно в нуле независимо от того, как мы выбирали корень многочлена.
5.2. Отступление. Связь между корнями многочлена и его коэффициентами можно описать следующим образом. Для любого топологического пространства X определим л-кратное симметрическое произведение
SP*(X)=*XXXX...XX/~,
