Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
где b — некоторая константа, зависящая от W и /.
Сумма объемов всех таких кубов не превосходит гп • Если выполнено условие р (k + 1) > п,
то эта сумма стремится к нулю С ростом г. Следовательно, суммарный объем может быть сделан сколь угодно малым за счет выбора достаточно мелкого разбиения. |
2.12. Упражнения. 1. Обобщите теорему. Сарда на отображения дифференцируемых многообразий.
2. Пусть Мт с R" — дифференцируемое подмногообразие и La~l cz Rn — линейное подпространство. Тогда существует аффинное подпространство Л сг if", параллельное Ln~i и такое, что множество А[\Мт является (/я— 1)-мерным подмногообразием.
2.18. Типичное приложение. Пусть Dnrs{х\ |дг| ^ 1} с: с: R“. Пусть f: Dn-+Rn — непрерывное отображение, такое, что f(Sn~l)czDa. Тогда / имеет неподвижную точку. (Теорема Брауэра.)
Набросок доказательства. Предположим противное. Тогда существует такое 6, что для всех х е ?)": | х —
— f (х)б > 0. Аппроксимируем / дифференцируемым отображением fi, не имеющим неподвижных точек (это можно сделать, так как если для всех кеЬ*; \fi(x) — f(x)\<b/2, то U ие имеет неподви-
30
2. РЕГУЛЯРНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
жных точек). Определим отображение <p: так, как показано на рисунке:
Ясно, что это отображение дифференцируемо и тож* дественно на 5я-‘, т. е. Ф|= id. Пусть у <= Sk~x — регулярное значение отображения q> (такое у существует по теореме Сгрда). Рассмотрим множество M = <p-i ({/)сВ". Пересечение М с внутренностью Da диска D является дифференцируемым подмногообразием размерности 1. По теореме о. ранге существуют координаты в окрестности точки у, в которых <р локально записывается в виде
{Уи • • •, Уп)'~>{У\..Уп-и 0),
причем в этих координатах, тоже локально, Sn~‘ совпадает с множеством {//„—0}. Следовательно, точка у обладает в М окрестностью, изоморфной [0,1).
2. РЕГУЛЯРНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
31
М компактно и, следовательно, является одномерным многообразием с краем. Каждое одномерное многообразие с краем есть объединение конечного числа отрезков и окружностей (с точностью до диффеоморфизма). Однако М имеет только одну граничную точку у. Противоречие. |
2.14. Второе приложение. Пусть р^2п и /: Rn-> -»-Rp — дифференцируемое отображение. Тогда существует линейное отображение A: Rn-*RP со
сколь угодно малой нормой, такое, что отображение f + A: Rn-* Rp — иммерсия.
Доказательство. Отображение f — иммерсия, если векторы {(df/dxl(x))\i—\t..., п} линейно независимы в каждой тоцке х е R".
Предположим, что векторы {df/dxt\i— s}
всюду линейно независимы, s <п. Рассмотрим ото-Сражение „
*(*¦.....
I"1
Поскольку s + n<p, множество q>{RJXRn) имеет меру нуль. Пусть aeR', а мало и а ф. ф (Rs X R")-Положим g(x) = f (х) + axs+1. Тогда
¦Вг—ёт при '<*•
- 3! +я>
dxs+i dxs+l
и, значит, ни для какого *eR" не выполняется равенство #
i-1
Следовательно, векторы dglc.:t при
всюду линейно независимы. Из этого утверждения
теорема следует по индукции. |
Мы сможем дать гораздо лучшую интерпретацию этого результата, если введем понятие окрестности
32
i. РЕГУЛЯРНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
в множестве дифференцируемых отображений. Опишем это понятие таким способом, который вполне достаточен для локальных рассмотрений.
Пусть U cz Rn, К cr U, К компактно. В множестве C?(t/) дифференцируемых отображений f: U-+ R введем следующую полунорму: jf|? = (максимальное значение на К всех производных f порядковой).
Множество всех geC^(U), удовлетворяющих условию |g —/I* < е, назовем е-окрестностью точки / в C^{U). Введение е-окрестностей наделяет C^{U) топологией, и, следовательно, можно говорить об открытости, замкнутости, плотности и т. д. Положим
Ск(U, RP) = CkK{U)X-..XC?(U)
р сомножителей
и определим норму в этом пространстве как максимум норм компонент. Теперь доказанное нами утверждение можно сформулировать следующим образом:
2.15. Пусть К czU a Rn, К компактно, U открыто и р^2п. Тогда множество © диффергнцируемых отображений /: U ->RP, таких, что Rkxf = n для всех х е К, открыто и плотно в С к (l>, Rp) при любом k.
Доказательство. Пусть /:{/-> Rp — иммерсия, К сг cz U. Рассмотрим отображение
Df Ф
где ф (Л) —сумма квадратов всех (п Хл)-миноров матрицы А. ¦
По предположению композиция отображений ф°?)/ нигде не обращается в нуль на /С. Если отображение fi‘. U-+ Rp дифференцируемо и Dft достаточно близко к Df на К, то ф «Dfi ф 0 всюду на К- Следовательно, множество © открыто. Кроме того, око плотно, ибо можно найти линейное отображение А со сколь угодно малой нормой на К, такое, что отображение f + А будет иммерсией. |
Тополог сформулировал бы этот результат так: отображение R 3(/->Rp при р^2п почти всегда является иммерсией.
3. ПОСТРОЕНИЕ
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ.
Большая свобода, которой мы располагаем при построении дифференцируемых отображений с заранее предписанными свойствами, основывается на следующем факте.
