Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь заметим, что среднее F есть приблизительно тоже, что и среднее от F по периоду. Это опять следует из большого числа волн постоянной амплитуды на интервале (х—
— X, х -f X). Таким образом,
Х + Х X
P(c,At) = j- J P(x',t)dx' = —^P(X,f)dX =
X О
X
= \ J Р(Ф, с, At)dX, х' = х + Х, (5.12)
о
где Р(Ф) отражает функциональную зависимость от Ф. В терминах средних, определенных в (5.12), усредненный закон сохранения выглядит так:
(d/di) Р (с, At) + (d/dx)Q(c, Л,) = 0, (5.13)
где с и Ас — медленно меняющиеся функции х и t.
Теперь мы знаем, что для определенных задач имеется бесконечное число законов сохранения и, следовательно, бесконечное число усредненных уравнений типа (5.13). Поэтому для успеха применения этого метода важно знать, что из этого бесконечного числа уравнений сохранения независимых уравнений ровно столько, сколько параметров с и Ait которые мы должны определить. Во всех задачах, рассмотренных до сих пор, число независимых осредненных уравнений
сохранения в точности равно числу неизвестных параметров. Однако до сих пор нет общего доказательства этого факта, и
118
5. Групповая скорость; нелинейные волны
секрет доказательства предположительно заключается в трансформационных свойствах основной системы уравнений.
Различные исследования показали, что если по аналогии
с адиабатическим инвариантом I — ^pdq в гамильтоновой
механике ввести функцию W (с, = то во многих
случаях удается выразить волновое число, частоту и другие параметры, связанные с волной, через первые частные производные от W по с и At. Более того, во многих случаях система уравнений в частных производных, определяющая эти производные от W, оказывается гиперболической. Следовательно, находя характеристики гиперболической системы, мы определим характеристические скорости для данной волны. Соответствующие условия совместности дают величины, постоянные вдоль этих характеристик. В общем случае мы имеем более чем одну характеристическую скорость; мы должны уточнить, которая из них будет определяться как групповая скорость. Прямая аналогия с линейным случаем не поможет, если все характеристические скорости окажутся равными групповой скорости. Этот вопрос мы рассмотрим еще раз в связи с примерами, которые обсудим в следующем разделе.
5.3. Примеры
В этом разделе рассмотрим приложения вышеописанного метода Уизема на примерах, которые также были рассмотрены Уиземом. Для проверки надежности метода Уизема сначала решим линейное уравнение, а затем—два нелинейных уравнения, одно из которых будет уравнением КдФ.
5.3.1. Линейная волна
Применим сначала метод разд. 5.2 к следующему линейному уравнению:
Vtt— Фхх + Ф = °> (5.14)
которое остается инвариантным под действием преобразований х-*—х и t-)-----1. Чтобы получить стационарное решение,
положим
1 = х — а. (5.15)
Тогда (5.14) принимает вид
(с2—1)ФЕ6 + Ф = 0. (5.16)
Интегрируя его, получим
ф6 = (l/Ус2 - 1 ) У2Л - Ф2
5.3. Примеры
119
для положительной ветви, причем
| = д/с2 — 1 $</ф/д/2Л-Ф2. (3.17)
Таким образом,
Ф (gj с, Л) = д/2Л~ cos [(| - goVV^T]- (5.18)
Функция Ф(?) осциллирует между — д/2Л и д/2Л, поэтому
определим
V2Z
Я, (с, Л) = 2 д/с2 - 1 J йф/д/2Л - Ф2 = 2я д/с2 - 1 (6.19)
-V2X
и затем
Л (с, Л) = 1/д/с2 - 1 , (5.20)
со (с, Л) = с/д/с2 - 1 = д/1 + &2. (5.21)
Подставляя ср exp{i(/a— со/)} в (5Л4), получаем дисперсионные соотношения со = ± д/1 + &2, одно из которых совпадает с (5.21). Умножая (5.14) на <р< и срх и перегруппировывая члены, получаем следующие уравнения сохранения, которых достаточно для определения изменения с и Л с изменением х и i:
[7гф? + 7гф* + 7гф2], + [— ФгФ*]* ~ (5.22а)
[~ ЧУР<]< + ['/2Ф2{ + 7гФ2 — 7гф2]л = 0, (5.226)
из которых в силу (5.15) следует
[72 {с2 + 1) Ф| + 7аФ2]* + [сФ\L = о, (5.22в)
[сФЦ + [72 (с2 + 1) Ф\ - 72Ф2], = 0. (5.22г)
Подставляя значения Ф и из (5.18) в (5.22в) и (5.22г), получаем
(с2 —1 С2 — 1 л/с2—1 ft 1 С2 — 1 д/с2— 1)х
(5.22д)
f_2d«_sin>_i=fc) + fii±±^_^cos’4=JU =0.
\ С2 — 1 Vе2 — 1 У t I с2 — 1 С2 — 1 VС2— 1 )х
(5.22е)
При осреднении по длине волны эти уравнения принимают
вид ______
(d/dt) (Лс2/д/?^Г) + (д/дх) (Лс/(с2 - 1)) = 0, (5.23а)