Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
/=(G(u), и); (4.38)
здесь G(u) называется градиентом функции /(«). Так как 1(и) есть интеграл уравнения (4.31), то I(ue(t)) не зависит от i для любого значения е и значит (G(u),v) также не зависит от t. Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 5. Пусть u(t) — произвольное решение уравнения
(4.31) и v(t) — произвольное решение соответствующего вариационного уравнения. Пусть I (и)— интеграл (4.31) и G(u)— его градиент, тогда билинейный функционал (G(u), и) не зависит от t.
Примечание. Этот результат соответствует следующему результату для линейных уравнений. Рассмотрим линеаризованный вариант уравнения КдФ: m + сих + иххх = 0. Умножая его на и и интегрируя по х от х = —оо до х = +оо,
+ оо
получаем (d/dt) ^ 1/2и2 dx — О,Предполагая, что и, ы^-э-О'при
— оо
| jc| —оо. Таким образом, квадратичный функционал Q (и, и)=
+ оо
*= ^ l/2u2dx не зависит от t. Назовем его энергией. Пусть
—оо
4.3. Решение типа уединенной волны общего уравнения эволюции 105-
теперь и и v — любые два решения данного уравнения. Тогда по принципу суперпозиции u±v — также решения этого уравнения. Таким образом, квадратичные функционалы Q(u + + и, иv) и Q(u — v, и — и) не зависят от времени t. Складывая их, получаем, что выражение
4*°° +°°
^ {Чи (и + v)2 — 1/2 (и — v)2} dx = 2 ^ uvdx = 2(u,v),
— оо —оо
которое является билинейным функционалом по и и и, также не зависит от t. Теперь докажем основную теорему Лакса.
Теорема 6. Предположим, что уравнение эволюции щ = = К(и) удовлетворяет следующим условиям:
а) К{и) гладко зависит от и, ее вариация есть V(u)\
б) уравнение инвариантно по отношению к трансляции по х и сохраняет положительно определенный трансляционно-инвариантный квадратичный функционал, называемый энергией;
в) уравнение имеет решение типа уединенной волны,
г) функции, обращаемые оператором CD—V* (s) (D =¦ = д/дх) в нуль и исчезающие при ±оо, могут быть лишь кратными s.
Пусть I(и)—интеграл уравнения, такой, что
д) он дифференцируем в смысле Фреше и
е) его градиент G(u) исчезает на ± оо при и = s.
Тогда G(s) = Ps, где р зависит от 1 и с, т. е. любое решение типа уединенной волны есть собственная функция гра-
диента интеграла уравнения эволюции.
Доказательство. Пусть v — любое решение вариационного уравнения (предположение а) и s(?), l = x — ct, есть решение типа уединенной волны уравнения (4.31) (предположение
(в)). Тогда по теореме 5
(G (s (х — ct)), v (х, t))'- (4.39)
не зависит от t. В силу трансляционной инвариантности скалярного произведения (предположение (б)),
(G (s (х)), v (х + ct, /)) (4.40}
не зависит от t. Для краткости запишем
v (х + ct, t)~w (х, t), (4.41)
тогда (4.40) можно записать в виде
(¦G (s (х)), w (х, 0), (4.42)
и это выражение не зависит от t. Дифференцируя (4.42) по t и замечая, что х и t — независимые переменные, получаем
(G (s (х)), wt) — 0, (4.43)
106
4. Общее уравнение эволюции
где, согласно (4.41), wt = vt + cvx и wx = vx, где X — x + + ct, так что
wt — vt + cwx = V (s (a;)) w + cwx =
= {cD + V (s (x))} w, D = d/dx. (4.44)
Подставляя (4.44) в (4.43), имеем
(G (s (x)), {cD + V (s (*))} w) = 0. (4.45)
Запишем последнее в сопряженной форме
({- cD + V* (s (х))} G (s), w) = 0, (4.46)
где V* — оператор, сопряженный к V. Значение w в любой момент времени, скажем при t = 0, может быть произвольным, следовательно, из (4.46) получим
{- cD + V* (s (х))} G (s) = 0. (4.47)
Из предположения (б) следует, что (4.31) выражает сохранение энергии, т. е. (u(t), u(t)) не зависит от t, так что, дифференцируя по t, имеем 2(u(t), ut(t)) = 0, или 2(u, K(u)) = = 0. Начальные значения и произвольны. Введем ие вместо
и. Дифференцируя по е и полагая е = 0, получаем
(у, К (и)) + (и, V (и) v) = 0, или (v, К (и)) + (У* (и) и, и) = 0, или (v, К (и)) + (у, V* (и) и) = 0, или (v, К (и) + V* (и) и) = 0.
Так как v — произвольное решение вариационного уравнения, мы считаем его произвольным в момент t, следовательно, последнее уравнение означает, что
К (и) + V*(u)u = 0. (4.48)
Так как мы рассматриваем решения типа уединенной волны, вместо u{x,t) будем писать s(|), | = х — ct, и тогда из (4.31) получим
М8 + /СИ6)) = 0. (4.49)
Подставляя s(|) вместо и и K(s(?,)) из (4.49) в (4.48), получаем
— cs| + V* (s (I)) s (I) = 0, или [-fl(d/dg) +Г (e (g))]s(|) = 0.- ( 50)
