Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
и (х, t) = b + a sin {2nkx — (2пк)Л /}, (5.113)
и осредненные уравнения в линейной задаче дают db/dt = 0, что соответствует нулевой скорости в (5.112). Однако мы должны помнить, что в линейной теории решение обычно определяется с точностью до несущественной аддитивной постоянной.
5.5. Групповая скорость: динамическая трактовка
Рассмотрим общую континуальную систему. Пусть г|ь i=l, 2, ..., п, — локальные переменные, или характерные параметры, определяющие состояние системы, и L — лагран-жева плотность, т. е. лагранжиан, отнесенный к единице объема. Рассмотрим систему, где L — функция от г],- и их первых производных:
г); == (d/dt) т),, Т1“ е= (д/дха) т),, (5.114)
не содержащая независимых переменных, т. в. пространственных координат (х\, X2, х3) и временной координаты t. Таким образом, имеем
? = Л?). (ЙЛ15)
5.5. Групповая скорость: динамическая трактовка
13»
Принцип Гамильтона определяет временную эволюцию системы и заключается в том, что «интеграл по времени от лагранжиана стационарен», что в обычной математической записи выглядит так:
12
6\jdt\jLdV = 0 (5.116)
t, v
для любых вариаций 6г); функций г\i(xa,t), которые обращаются в нуль в начале / = tx и в конце / = /2 произвольного интервала времени, а также на границе произвольного объема V трехмерного пространства (xi,x2,x3), по которому ведется интегрирование в (5.116). Из (5.116) следуют уравнения Лагранжа
(d/dt) (дЬ/дц{) + {д/дха) {dL/d^) — dL/dr\t = О,
/=1,2, (5.117)
Полная плотность энергии системы в точке (ха, /) дается фор-
мулой (Гольдстейн [1950])
E=ti\t(dL/di\t)-L, (5.118)
t = l
откуда в силу (5.117) имеем
з
dE/dt = - S д1а/дха, (5.119)
а=1
где /а= Z Г); (5.120)
Из (5.119) ясно, что вектор \(I\,h,h) представляет собой поток энергии. Ясно также, что энергия прямоугольного элемента с гранями, параллельными координатным плоскостям, изменяется со скоростью, равной разности потоков энергии через противоположные грани элемента.
Для периодических плоских волн мы можем определить скорость распространения иа в виде
<7а>
(Е)
где <?> обозначает среднее от энергии, полученное осреднением по целому числу длин волн или периодов. В терминах иа усредненное уравнение (5.119) принимает вид
з
+ = (5Л22>
. дх а=1
132
5. Групповая скорость; нелинейные волны
Если нас интересуют только плоские периодические волны, мы можем использовать принцип Гамильтона в слегка измененной форме.
Плоская периодическая волна удовлетворяет условию
t2
b^dt^LdV = 0 (5.123)
t, v
для всех вариаций бг)г, которые периодичны с теми же самыми частотой и волновым числом, как и сама г(г, при условии, что t2 — t\ равно периоду, умноженному на целое число, и V—прямоугольный объем, четыре грани которого перпендикулярны фронту волны, а длина ребра составляет целое число длин волн.
Доказательство этого принципа, как показано ниже, более или менее очевидно. Имеем
Первый член равен нулю в силу уравнений Лагранжа (5.117), второй член обращается в нуль при интегрировании по t и использовании того, что U — tx равно целому числу периодов, и третий член равен нулю в силу использования теоремы Гаусса и того факта, что интегралы по противоположным граням объема V, разделенным целым числом длин волны, обращаются в нуль и что нормали к поверхностям интегрирования внешние.
В линейном случае, т. е. в случае инфинитезимальных амплитуд, можно показать, что <L> — 0. Для начала рассмотрим классический динамический случай. Здесь L — разность кинетической и потенциальной энергий, так что <L> — разность средней кинетической и средней потенциальной энергий— равна нулю.
В общей системе, подчиняющейся принципу Гамильтона, для волн инфинитезимальной амплитуды L — однородная функция второй степени по всем переменным, являющимся ее аргументами. Следовательно, если заменить каждое rj,- на
5.5. Групповая скорость: динамическая трактовка
133
(1 -|- е)т]‘, то лагранжиан L превратится в (1 + e)2L и указанный выше вариационный принцип примет вид
t'i
0 = 6$ dt \LdV = (l + e)2$d/ ^LdV,
ti V ti V
to
и, следовательно, ^ dt ^ L dV — 0, t, v
