Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
-f ОО + ОО
^ 1[ф]фйЬс= ^ ф! [ф] dx (L симметричен).
— оо — оо
Следовательно, из (4.64) и (4.67) имеем
G (и) = ‘/бФ2. (4.68)
Таким образом, А (и) удовлетворяет условиям (д) и (е) теоремы 6, а именно А (и) дифференцируема в смысле Фреше и G(s)->-0 при )л:| —оо, так как ф-»-0 при |л:|-»-оо. Условие (в) теоремы 6 также выполняется, потому что мы показали в гл. 3 существование решений типа уединенной волны для уравнения КдФ. Условие (б) теоремы 6 также выполняется, поскольку для уравнения КдФ квадратичный функционал (и, и) не зависит от времени.
Докажем, что условие (г) теоремы 6 для настоящего случая также выполняется. Пусть X—функция, обращаемая в нуль оператором cD — V* (s), так что X-*- 0 при | = х — ct-*--*- ± оо. Тогда имеем
с (dX/dl) - s (I) (dX/dt) — d3X/dl3 = 0. (4.69)
Если теперь перейдем в уравнении КдФ к координате то для решения типа уединенной волны и(х, f)= s(§) получим
с (ds/dl) - s (I) (ds/dl) - d3s/dl3— 0, (4.70)
110
4. Общее уравнение эволюции
где s-»-0 при |-*-±оо. Итак, из уравнений (4.69) и (4.70) получаем
Х—аs, где а — константа. (4.71)
Предыдущее рассмотрение показывает, что уравнение КдФ, так же как и интеграл % (и), удовлетворяет всем условиям теоремы 6. Поэтому имеем
G (s) = 1/б'Ф2==Р‘5, (4.72)
где р зависит от %(s) и с. Из (4.72) получаем
ф = Убр7. (4.73)
Чтобы установить соотношение между интегралом ^(s), который является собственным значением оператора Шредингера L2 + 1/бs, где s — решение типа уединенной волны
уравнения КдФ, и собственной скоростью c(s), поступим сле-
дующим образом. Дифференцируя дважды собственную функцию \f> оператора Шредингера, заданную выражением (4.73), получим
= Vs V6P/s sv i|>xx = */я Убр/s3 lssu — V2S2],
так что tyXx + 1/б*'Ф = ’Де (*)• (4.74)
Здесь учтены формулы = cs — V2S2, s| = cs2 — '/зs3, полученные путем двукратного интегрирования (4.70) и использо-
вания граничных условий на s и производных от s при |-»-±оо. Левая часть (4.74) равна также ^(s)^:
К (s) ф = -\/6Ps A. (s). (4.75)
Поэтому из (4.74) и (4.75) получаем следующий важный результат:
с (s) = 4 A. (s) = 4х2 (s), (4.76)
который доказан в гл. 3 методом обратной задачи рассеяния. На самом деле в гл. 3 мы доказали более общий результат: если решение и(х, t) уравнения КдФ есть безотражательный потенциал уравнения Шредингера, то собственному значению и2 оператора Шредингера d2/dx2 + 1/2и соответствует солитон, движущийся со скоростью 4х2 на бесконечности. Мы должны, однако, связать эти собственные скорости с произвольным решением u(x,t) уравнения КдФ, которое не обязательно является безотражательным потенциалом, но заключает в себе эти индивидуальные солитоны, проявляющиеся только в асимптотическом поведении u(x,t). Этот вопрос мы обсудим в следующем разделе.
4.5. Собственные скорости общего решения уравнения КдФ 111
4.5. Собственные скорости общего решения уравнения КдФ
Докажем, что если с — собственная скорость решения уравнения КдФ (не обязательно безотражательного), то '/4с является собственным значением оператора Шредингера d2/dx2 + у6 и.
Пусть u(x,t) — произвольное решение уравнения КдФ, асимптотически распадающееся на некоторое число уединенных волн. Рассмотрим одну из них: u = s(l), g = х — ct, движущуюся со скоростью с, т. е.
lim и (х, t) — s (| — 0*), (4.77)
t-+ ±оо
? фикс.
где 0* — константы. Следовательно, для любых положительных чисел е и X существует положительное число Т (X, е), такое, что
|u(g + cU)-s(&-e)l<e (4.78)
для всех ti \t I > Т и для всех 111 < X. (4.79)
Заметим, что X может быть сколь угодно большим. Однако lim Т (X, е) = оо для фиксированного е. При t=T нера-
венство (4.78) принимает вид
\u(l + cT,T)-s(l-Q)\<s (4.80)
для всех ?: [ 11 < X или сТ — X < х < сТ + X.
Пусть Ьт — оператор Шредингера d2/dx2 + {/йи(х, t), записанный для t = Т. Сначала докажем, что '/4с является приближенным собственным значением, а = sll2(x— сТ — 0) — приближенной собственной функцией оператора LT в том смысле, что
И-^гФг — 1Uc^t II < ^ II Фт II- (4-81)
где || ||—норма в Ь2 и 6->0 при е->0 и Х—^оо. Заметим,
что фг является собственной функцией, соответствующей собственному значению у4с оператора d2/dx2 + 1/6s(x — сТ — 0), а не Ьт. В общем случае не является собственной функцией оператора Ьт. Итак,
I LT$T — 'Дсфг I = I {d2/dx2 + у6м (х, Т) — >/4с} г|>г | =
