Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
= | {d2/dx2 + Ves (х-сТ-В)- V4c} +
+ 7б {“ (х> T) — s(x — cT~ 0)} т|эг I =
= 7б1« (*> T) — s(x — cT — Q) |'Фг<7бе'1’г. (4.82)
что следует из (4.80) при сТ — X ^ х ^ сТ + X. В этом ин-
тервале неравенство (4.82) дает оценку для Lr^r —
112
4. Общее уравнение эволюции
Получим теперь оценку для этого выражения вне указанного интервала.
В области вне интервала (сТ — X, сТX) поступим следующим образом. Предполагая, что решения уравнения КдФ равномерно ограничены по времени, обозначим через М верхнюю грань и(х, t), Затем из соотношения
I Lt^t — “Лсфт I = 7е I « (*> Т) — s (х — ct — 0) | ф т и выражения (4.8) для s получим
I Lt^t — ‘ЛсФг I < */б (м + Зс) ipj. (4.83)
На интервале х <С сТ — X, используя фг = s1/2, имеем
¦фг=д/3с sech {(д/с/2) (х — сТ — 0)} =
___________________________2 -уЗс~________________________
ехр {(Vс /2) (х — сТ — 0)} + ехр {(— Vе АО (х — сТ — 0)}
< 2 д/Зс ехр {(д/с /2) (х — сТ—0)}. (4.84)
Аналогично для х > сТ -f X получим
¦фг < 2 д/Зс ехр {— д/с (х — сТ — 0)/2}. (4.85)
Поэтому, согласно выбранной норме,
.-СТ — X сТ+Х оо _
\\LTqT — 74c^r||2= ^ ^ dx.
L -00 cT-X cT+X J
Из неравенств (4.82) — (4.85) получим
II LTtyT 1/4с'Фг II2
сТ+Х гст-х
<7зее2 5 ^7 + 7зС (М + Зс)2 ^ ехр {д/с (л:—сТ—0)} dx-\-
сТ — Х L —оо
00 - 1 + ii ехр {— д/с (х — сТ — 0)} dx I,
сТ+Х J
или II Lfф7 — 74С^т II2 <
< (7зее2 + 7з Vе (М + Зс)2 [ехр {— д/с (X + 0)} +
+ ехр {— д/с (дс — е)}]/|| ||2) • || т|>7 |р.
Так как норма Ц-фгЦ не равна нулю и конечна, то из полученного неравенства вытекает (4.81), где 6->-0 при е->-0 и X —>- оо. Таким образом, с/4 лежит в S-окрестности точки спектра оператора LT = d2/dx2 -f- 1/йи(х, Т). Так как 6->-0 при е->-0 и X^f-oo, а спектр оператора LT не зависит от Т, то мы заключаем, что с/4 — собственное значение оператора L з= d2/dx2 + '/6и (л:, t) .
Литература
113
ЛИТЕРАТУРА
Лаке (Lax P. D.)
[1968] Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves.— Communs. Pure and Appl. Math., v. 21, p. 467-—490. [Имеется перевод: Лэкс П. Д., Интегралы нелинейных эволюционных уравнений и уединенные волны. — В сб.: Математика, 13 : 5, (1969), с. 128—150.1
Люстерник Л. А., Соболев Л. И.
[1951] Элементы функционального анализа. — М.: ГИТТЛ.
Миура, Гарднер, Крускал (Miura R. М., Gardner С. S., Kruskal М. D.)
[1968] Korteweg — de Vries equation and generalizations. II. Existence of conservation laws and constants of motion. — J. Math. Phys., v. 9, p. 1204—1209.
Прайс (Price J. D.)
[1973] Basic methods of linear functional analysis. — London: Hiltchm-son University Library.
Сьёберг (Sjoberg A.)
[1967] On the Korteweg — de Vries equation. — Upsala University Department of Computer Science Report.
5
Групповая скорость; нелинейные волны
5.1. Введение
При изучении линейных волн в гл. 1 были выявлены
следующие факты:
1. Линейная волна в однородной консервативной диспергирующей среде, первоначально гармоническая (т. е. с параметрами k, со, a, VP и Vg, не зависящими от д: и t), по истечении достаточно большого времени (t Р) превращается в неоднородный цуг волн увеличивающейся длины, вдоль которого параметры k, со, a, VP и Vg медленно меняются с изменением х и t (точнее говоря, их комбинации x/t).
2. Значительные изменения (т. е. порядка 0(1)) этих параметров имеют место на отрезках длины порядка L = 0(х) и времени порядка Т = 0(t).
3. Следовательно, мы могли рассматривать эту волну как гармоническую, с медленно меняющимися параметрами на отрезках длины к <С X <С L и времени Р <С т <С Т, где к — длина волны, Р — начальный период.
4. Используя дисперсионное соотношение и применяя фурье-анализ к волновому уравнению, мы получили математическое выражение для групповой скорости волны Vg — = ш' (k).
5. Используя асимптотическое поведение при /—коо точного решения задачи с начальными условиями, мы смогли дать физическое истолкование распространения волнового числа, частоты и энергии волны, распространяющейся с групповой скоростью.
Нелинейное волновое уравнение не может быть решено методом разложения решения на фурье-компоненты, и для определения таких характеристик нелинейной волны, как волновое число, период и т. д., нам придется развить специальный метод. Иначе говоря, нелинейные уравнения не допускают решения вида
