Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
E(s) = J Add, К (s) = J dQ/A, Л = (1 — s2 sin20)1/2, (5.91)
о 0
и аргумент s2 = (a — p)/(a — y) < 1. (5.92)
При установлении этих соотношений мы использовали следующее:
Я/2
Я(s) = 5 (5.93)
о
Из (5.90) получаем важное соотношение
Wa+W^+Wy=-0. (5.94)
128
5. Групповая скорость; нелинейные волны
Тогда из (5.88) имеем
da = (1/Л) (Р — у)(— dA + a dB + 'Л®2 dc), ф = (1/А) (v - а) (- dA + р dB + i/2p2 Л), (5.95)
dy — (1/А) (а — Р)(— dA + у dB + 42y2dc),
где Л = (а — Р) (Р — у) (а — у). (5.96)
Эти соотношения определяют частные производные а, р, у по с, А, В. Далее мы можем выразить частные производные от W по с, А, В через частные производные от W по а, р, у:
WA = 2 V2/(a - Y) К,
WB — — 2 V2/(a - v) {Y^ + (<* - y) E), (5.97)
Wc = — '/зЛ/2/(a — y) [{y (« + P + 2y) — aP} К +
+ 2 (a — v)(a + p + у) E],
где для удобства записи мы опустили аргумент s2 в функциях Е и К. Обозначая теперь точкой производную D/Dt, применяя этот оператор к (5.97) и используя
E = l/2[(s2Y/s2](E-K), (5.98а)
К = 7а 1(52)752] [?/(1 - S2) - К], (5.986)
(sT _ (Р — У) а — (а — У) Р + (a — Р) У s2 2 (а — Р) (а — у)
(5.99)
имеем
^ V].
WB = - а + ° ¦^Е Р +
+ <5-ЮОб)
^С = —V2/(a —Y){ (aP + Pv —Y«)/C +
+ (PY — a (P + y — 2a)) E] + y^ZTpy [(aP + ay — Py) K— — (ay — P (a + у — 2P)) f] +
+ 2(p^f I2V(P ~ Y)* + («Р - Y(a + P - 2y))E] } . (5.100в)
5.4. Уравнение Кортевега — де Фриза
129
Запишем усредненные уравнения сохранения через производные от а, р, у:
(Wy - Гр) а + (Га - Wy) Р + (Гр - Wa) у =
= 4ГлА(а, + рх + ух), (5.101) {(Y - 2Р) W у — (Р — 2Y) Гр} а + {(а - 2у) Wa-(y- 2а) W у) р + + {(Р - 2а) Гр - (а - 2Р) Га} у = - 2ГЛД {(р + у) а, +
+ (a + Y)P* + (a + P)Y*}. (5-102)
{(Зар — Зау + Py) Гу — (Зау — Зар + Ру) Гр} а +
+ {(Зру - ЗРа + уа) Wa - (Зра - Зру + у а) Г Y} р +
+ {(Зуа — ЗуР + ар) Гр — (3yP — Зуа + ар) Га} у =
==4ГлЛ{Руал + ауРл + аРух}. (5.103)
Заметим, что эта система уравнений инвариантна относительно циклической перестановки а, р, у. Чтобы привести эти уравнения к характеристической форме, умножим (5.101) на А,, (5.102) на |а и прибавим их к (5.103). Если выбрать А и |j. такими, что коэффициенты при а и ах равны нулю, то
А = ар + уа — ЗРу и \i~2a. (5.104)
При этих значениях А и |а мы находим, что оба коэффициента при р* и ух равны —41^лД(а2 — ар — ау + Ру), в то время как коэффициенты при р и у оба равны выражению 2 (а2 —
— ар — ay$у) (Wy—Гр), где для упрощения использованы соотношения (5.104). Таким образом, наши уравнения сводятся к уравнению
Р + Y — [2ГлЛ/(ГВ - Wy)] (р* + ух). (5.105)
Учитывая инвариантность относительно циклической перестановки а, р, у> получаем два других уравнения при помощи этой перестановки. Из (5.105) и двух аналогичных выражений находим следующие характеристические скорости:
с, + [2ГлЛ /(Гр - ITY)] = с, + 4аК/(К -Е) = 0, (5.106а)
c2 + [2WAA/(Wy-Wa)] = c2 + 4aK(l - s2)/[E - (1 — s2) К] = 0,
(5.1066)
с3 + [2ГлА/(Га- 1Гр)] = с3-[4а(1 - s2)/s2]K/E = 0, (5.106в)
где а = (а — Р)/2. Соответствующими соотношениями совместности вдоль характеристик являются р + у = const, у + a = const, a + р = const. Волновое число k выражается в виде k=l/WA = ^/a/2sK, так что можно написать
s = s(a/k2), (5.107}=
130
5. Групповая скорость; нелинейные волны
тогда три скорости распространения записываются как
ct — aFi(a/k2), i=l, 2, 3, (5.108)
где функция Fi зависит от а и k через комбинацию a/k2. Следовательно, предел при a/k2-+- 0 отвечает линейному случаю и должен воспроизводить результаты для линеаризованного уравнения КдФ
Щ + Чххк = 0. (5.109)
Фурье-компонента, соответствующая
и ~ ехр {2л/ {kx — со/)}, (5.110)
определяет следующее соотношение для (5.109):
оо = — 4я2/г3. (5.111)
В пределе a/k2-+ 0 скорости распространения (5.106) сводятся к следующим:
— 3(2nk)2, — 3(2nk)2, 0. (5.112)
Ясно, что первые две скорости в (5.112) равны групповой скорости, которая дается уравнением (5.111). Появление в (5.112) третьей скорости, а именно 0, может быть объяснено следующим образом. Решение уравнения (5.109) типа стационарной волны имеет вид
