Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
что означает <L> = 0. В случае нелинейной волны L — не обязательно однородная функция своих аргументов, и, следовательно, для такой волны в общем случае (Ь)ф0. Далее посмотрим, можно ли выразить групповую скорость иа в виде
иа = da/dka (5.124)
в случае плоских волн конечной амплитуды, как это было для волн бесконечно малой амплитуды. В гл. 2 мы видели, что в случае нелинейных волн со есть функция не только волнового числа к, но также амплитуды и других параметров, которые были названы Уиземом [1965] псевдочастотами. Однако здесь мы не будем их рассматривать. Таким образом, выражение (5.124) может иметь смысл производной при постоянных компонентах к, отличных от ka, а также некоторой меры амплитуды.
Уизем [1965] показал, что (5.124) выполняется, если две компоненты вектора к, отличные от ka., и <L)/co остаются фиксированными, т. е.
иа = (d(s)/dka)<L)/a. (5.125)
Заметим, что классический результат для линейных волн — частный случай соотношения (5.125), так как для таких волн <L>/со = 0. Докажем (5.125) для общего случая. Рассмотрим плоские периодические волны в форме
Лг = ft (<»/ — X . (5.126)
3
где все функции /,-(?) периодические по \ = со/ — X kaxa
а=1
с периодом Р. Без ограничения общности положим Р = 1, так как это просто означает нормировку переменной |. Из (5.126) имеем
л, = /,(6), Л,“Я(БК л? = -/,'(&)*„. (5.127)
134
5. Групповая скорость; нелинейные волны
Рассмотрим произвольное возмущение, при котором, вообще говоря, частота и волновое число изменяются:
+ = Z Яа*а). (5.128)
С2 = со + бсо, Ka = ka + 6ka, F(l) = ft(l) + 6ft(l), (5.129)
где б/»•(?) имеет период 1 точно так же, как и функция /;(?). Итак, имеем
1
б (L) = б J L {/, (|), со/' (|), - kj\ (g)} dl =
О
(5-130)
Заметим, что первый член в правой части (5.130) дает вклад в общую вариацию, происходящий от варьирования /г при фиксированных со и ka, и должен обращаться в нуль в силу принципа Гамильтона для плоских периодических волн для вариаций г)г при постоянных частоте и волновом числе, в то время как второй и третий члены, будучи помноженными на to, могут быть выражены через средние значения, которые появляются в (5.121). Таким образом,
"6 а>=О' Ы*dt)610 ¦ I, O' S “¦=
<мз|)
Если (L)/со = const, то
б (L)/to — (L) бсо/со2 = 0, или соб (L) — (L) — (L) бсо. (5.132) Подставляя (5.132) в (5.131), имеем
.ля to-g (|>
откуда с помощью (5.121) следует (5.125),
J1 итература
135
Величина <L>/co, которая сохраняется фиксированной в (5.125), является интегралом лагранжевой плотности по времени в пределах одного периода. Это величина, которая остается стационарной, когда мы переходим от периодического решения x\i к близкому т], + Sr^, периодическому с теми же самыми частотой и волновым числом, что и rj,-, но в общем не являющемуся решением. Это объясняет неожиданное обстоятельство в последнем доказательстве, а именно то, что функции (5.128) с возмущенными частотами и волновыми числами, являющиеся решениями уравнений движения, не использовались в доказательстве. Это не было необходимо, потому что <L>/со было бы таким же, как и для близких функций, которые не являются решениями, т. е. мы могли бы доказать теорему для более общих возмущений г|г + бг|г, ю + 6to, ka + не являющихся решениями уравнений движения.
Формула (5.125) была получена Уиземом [1965]. Этот результат следует считать выдающимся, поскольку он переносит обычную формулу для групповой скорости линейных волн на случай нелинейных волн, при условии что псевдочастота фиксирована. Заметим также, что лагранжева формулировка позволяет нам естественным и изящным способом перейти к трехмерному случаю.
ЛИТЕРАТУРА
Гольдстейн (Goldstein Н.)
[1950] Classical mechanics. — Reading, Mass.: Addison-Wcsley. [Имеется перевод: Гольдстейн Г. Классическая механика. — М.: Наука, 1975.]
Лайтхилл (Lighthill М. J.)
[1965] Group velocity. — J. Inst. Math, and its Appl., v. 1, p. 1—28. Уизем (Whitham G. B.)
[1965a] Nonlinear dispersive waves. — Proc. Roy. Soc., v. A283, p. 238— 261.
[1965b] A general approach to linear and nonlinear dispersive waves using Lagrangian. — J. Fluid Mech., v. 22, p. 273—283.
[1974] Linear and nonlinear waves. — New York: Wiley. [Имеется перевод: Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир 1977.]
Хейз (Hayes W. D.)
[1973] Group velocity and nonlinear dispersive wave propagation. — Proc. Roy. Soc., v. A332, p. 199—221.
ОГЛАВЛЕНИЕ
К русскому переводу .................................................. •