Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 3. Собственные значения симметричного оператора L, где и эволюционирует согласно уравнению ut = К (и),
U
не зависят от времени t, если L — унитарно эквивалентный
U
оператор. Следовательно, собственные значения Я оператора L являются «интегралами» уравнения эволюции.
U
Камнем преткновения является вопрос о существовании антисимметричного оператора А, удовлетворяющего уравнению (4.24). В случае уравнения Шредингера мы можем построить такой антисимметричный оператор, тогда как в общем случае мы будем лишь предполагать о его существовании.
Если оператор L может быть выражен в форме L = L0 +
U и
+ М, где L0 не зависит от и и М линейно зависит от и, то
U U
теорема 3 может быть сформулирована в измененной форме. Подобного рода ситуация возникает в случае оператора Шре-диигера: L = d2/dx2 + 1 Дм, который симметричен и может быть выражен в вышеуказанной форме, если взять L0 = d2/x2 (не зависит от и),
М = '/6м (зависит линейно от и). (4.26)
U
Теорема 4. Пусть L — симметричный оператор, зависящий
U
от функции и, являющийся решением уравнения
Щ = К («). (4.27)
4.3. Решение типа уединенной волны общего уравнения эволюции 103
и пусть он может быть выражен в следующем виде:
L = L0 + M, (4.28)
U U
где Lo не зависит от и, а М зависит линейно от и. Предпо-
U
ложим, что существует антисимметричный оператор А, зависящий от и, такой, что
\А, L} = М , (4.29)
и К (и)
тогда собственные значения L являются «интегралами» урав-
U
нения (4.27).
Доказательство. Опуская индекс и при L, имеем Lif =
U
= /,0г|з + Мф. Дифференцируя по t, получаем
Lfij} + Ltyt = L0tyt + МгФ + Mtyt, или Lt = Mt. (4.30)
и и и
Так как М зависит линейно от и, то Mt зависит линейно от
U
Ut, т. е. от К (и). Следовательно, Lt = M, и из уравнения
и К (и)
(4.29) получаем Lt = \_А, L\. Таким образом, L является унитарно эквивалентным при и, удовлетворяющем (4.27). Теорема доказана.
4.3. Решения типа уединенной волны общего уравнения эволюции
Будем предполагать выполненными следующие теоремы существования и единственности для уравнения эволюции:
nt = К (и). (4.31)
Теорема существования. Существует решение уравнения
(4.31), соответствующее начальному условию и(х, 0) при условии его достаточной гладкости и стремления к нулю со своими производными любого порядка при |je|-»-oo.
Теорема единственности. Данное начальное условие, удовлетворяющее условиям теоремы существования, определяет единственное решение уравнения (4.31).
В рамках сделанных предположений мы сначала свяжем линейное вариационное уравнение с однопараметрическим семейством решений уравнения (4.31). Можно построить однопараметрическое семейство решений уравнения (4.31), сделав начальные условия функциями параметра е:
иЕ (х, 0)= и0 (х) + е/ (х). (4.32)
В соответствии с начальными данными (4.32) мы имеем однопараметрическое семейство решений уравнения (4.31) Me (х, t), которое для малых значений е можно записать в виде Ые (*> t) = и (х, t) + еи (х, t) +О (е2), (4.33)
104
4. Общее уравнение эволюции
где u(x,t)—решение уравнения (4.31), соответствующее начальному значению и(х0), но v(x,t) не есть решение уравнения (4.31). Далее установим уравнение эволюции для v. Для этого потребуем следующее: оператор К (и) зависит от и гладко, т. е. функция
(d/de) К (и + ev) |е-=0 = V (и) v (4.34)
определяется единственным образом и является линейной функцией от v, тогда V (и) называется вариацией К. Заметим, что левая часть (4.34) есть производная функция К (и) в смысле Фреше. В дальнейшем мы будем обозначать производную Фреше от функции точкой над функцией. Дифференцируя (и + ev) t = К (и + ev) по е и полагая е = 0, с помощью (4.34) получаем
vt — V(u)v. (4.35)
Уравнение (4.35) называется вариационным уравнением для
v = (dujde) |е_0. (4.36)
Пусть I(и)—интеграл уравнения (4.31). Предположим, что I(и) дифференцируем по Фреше, т. е. существует
(d/de) I(u + ev) |е=0, (4.37)
и является линейным функционалом от v, который можно представить в виде (G(u),v), так что можно написать