Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
У(Ф) = А - i/2(c2- 1)Ф| = А - l/2kW. (5.43в)
Беря частную производную от (5.356) по с, получаем
W С = [с/(с2 - \)]W. (5.44)
Подставляя эти усредненные выражения в уравнение сохранения, имеем следующее осредненное уравнение сохранения:
(d/dt) {k (cWc + AWa - W)} +
+ (д/дх) {kc (cWc + AW a -W)- cA} = 0, (5.45)
(d/dt) (kWc) + (d/dx) (ckWc - A) = 0, (5.46)
где при записи второго члена в уравнении (5.45) мы добавили kcAWA и вычли эквивалентное ему выражение сА. Выполняя дифференцирование и собирая коэффициенты при с, А и W, имеем
с {¦§ т.) + -t<-ckv‘ ~ л>}++-jhickw< - с>}-или kt-\-(ko)x = 0, (6.47)
5.3. Примеры
123
так как коэффициент при с равен нулю в силу (5.46) и коэффициент при А тоже равен нулю в силу kWA = 1.
Определяя частоту через волновое число k и волновую скорость с, имеем со = kc, так что уравнение (5.47) можно записать в виде
Ч- со^ = 0 или kt + co'(/z) kx = 0. (5.48)
Уравнение (5.48) чрезвычайно важно, так как мы установили кинематическое соотношение kt + со* = 0, основываясь целиком на процедуре усреднения. Более того, вдоль характеристики dx/dt = a>(k) волновое число k (и, следовательно, со) сохраняется.
Мы можем записать два независимых усредненных уравнения сохранения в удобной форме:
DWA/Dt — WА дс/дх = 0, (5.49)
DWJDt — WА дА/дх = 0, (5.50)
где D/Dt = d/dt сд/дх. (5.51)
Выражая неизвестные в этих уравнениях через Л и с с помощью соотношений (5.40) и (5.44) (после замены W на G), получим уравнения
G"At + cG"Ax + [cG'/(c2 - 1)] ct + [G'/(c2 - 1)1 cx = 0, (5.52)
cG'At + G'AX - [G/(c2 - 1)] ct - [Gc/(c2 - 1)] cx = 0, (5.53)
которые имеют следующие две характеристики:
С±: dx/it = (1 ± са)/(с ± а), а = (— GG"/G'2)112 (5.54)
с соотношениями совместности на характеристиках dc/(c2 — 1) — V— G"/G dA = 0 вдоль С+, dc/(c2 — 1) + V— G"/G dA = 0 вдоль С_. Эти уравнения определяют два инварианта Римана
(5.55)
ь л
г = J dc/(c2 - 1) - J (- G"/G)ll2dA,
Со До
с А
s = J dc/(c2 - 1) + J (- G"/G)112 dA.
(6.56)
Уравнение (5.54) определяет две характеристические скорости (1 ± са)/(с ± а). Этот факт отражает природу решения. Рассмотрим, например, цуг волн, имевший вначале постоянную форму с А = А0 и с = с о вне некоторого ограниченного отрезка. После некоторого периода взаимодействия
124
5. Групповая скорость; нелинейные волны
возмущение разделяется на две простые волны, разделенные областью постоянных значений Л и с. В одной простой волне характеристики С+ суть прямые линии, на которых г — константы, и другой инвариант Римана — константа во всей области. Во второй простой волне г постоянно везде, as — константа вдоль характеристик С_, которые являются прямыми линиями. Между этими двумя простыми волнами величины с и Л постоянны. Так как волновое число и амплитуда выражаются через с и Л, к ним применимы те же качественные утверждения.
Рассмотрим теперь распространение энергии. Полная энергия системы на единицу длины равна
•/аФ? + */2ф| + И (ф) (5.57)
и имеет среднее значение
k(cWc + AWa-W). (5.58)
Средний поток энергии определяется из усредненного уравнения сохранения (5.45) в следующем виде:
kc [cW с + AW А — W) — с А. (5.59)
Следовательно, скорость распространения энергии равна
kc(cWc +AWa — W) — cA cG
k(cWc+ AWa — W) = (с2 - 1) AG' + G ' (5.60)
Это другая важная скорость. Таким образом, в данном нели-
нейном случае существуют две характеристические скорости и скорость распространения энергии, причем одну из них мы должны приписать групповой скорости. Иначе говоря, понятие «группа волн», которое обсуждалось в гл. 1, должно быть уточнено, поскольку все три скорости одинаково важны. Возможно, что мы все же можем называть групповой скоростью скорость распространения энергии.
5.4. Уравнение Кортевега — де Фриза
Цель настоящего раздела — определить характеристические скорости уравнений модуляции, которые получаются из уравнения КдФ, записанного в форме
Ut Ч- &uuх -j- иххх 0. (5.61)
Чтобы получить стационарные решения, сделаем подстановку
?, = x — ct, (5.62)
после чего оно приведется к форме
= си\ — 6и«|. (5.63)
5.4. Уравнение Кортевега — де Фриза
125
Проинтегрировав его, получим
иц — В + си — 3 и2. (5.64)
Умножая это уравнение на и$ и интегрируя, имеем
