Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 8.6. Обмен реальным фотоном между двумя токами, макроскопически разделенными в пространстве.
§ 37] СОБСТВЕННАЯ МАССА ЭЛЕКТРОНА ]д5
Выражение (8.35) для 2 (р) пригодно как для внутренних электронных линий с произвольными р2 и р на диаграммах Фейнмана, так и для внешних линий. В последнем случае р2 = т2 и, кроме того, р располагается после спинора для свободной частицы, как в (8.7). Тогда можно воспользоваться уравнением Дирака и положить р = т. Далее, как и при расчете поляризации вакуума, применяем тождество (8.18), заменяем г,-—*-yz{ и получаем
I оо
= ^ J dz[2m — р{\ — г)] J -y-exp {iy [p2z( 1 — гг) —
0 о
- m2z - К2 (1 - гг) + ге]}. (8.36)
Интеграл
оо
/ (р, т, X) = ^ ехр {iy [p2z(l — z) — m2z — Я2(1 — гг) + ге]}
о
расходится логарифмически; мы произведем обрезание, вычтя из него интеграл J(p,m, А), где А — большая масса.
Применим тождество
оо
= ini. (8.37)
О
Тогда пропагатор после обрезания примет вид
1
Ъ(р)= ±\dz[2m-p(\-z)]X
О
у 1п_____________Л2(1-г)_____________=
т2г + X2 (1 — z) — p2z (1 — z) — ie
i
= -^$сИ2/гс--/5(1 — z) ] In -A2 (l~2 z)- +
0
1
i a С л ro -/i т2г2 + A2 (1 — z)
+ dz[2m p(l z)]ln OT22 + x2 (1 - z) - p2z( 1 - z) ***
0
3am i Л2 a / л \, Л2 .
« — n —r-T- (p — tn) n —j- +
4n m2 4л ' m2 '
1
+ dz [2m - f (1 - z)] In т,г +?(,l _ z) ¦ (8.38)
166
ПОПРАВКИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ К МАТРИЦЕ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. 8
Вся зависимость от обрезания содержится в первых двух членах, от которых мы освободимся путем перенормировки1). При р2 — т2 тХ интеграл легко вычисляется и мы получаем
1
Щйг[2т-р(\- г)\ In =
я V Р / т
Вблизи «массовой поверхности», т. е. когда р2 я» т2 (однако р2 — т2 тХ) и когда 2 стоит рядом со спинором для свободной частицы (р — т), имеем
2(р)ъ^т\п^-^ф-т)(\п^ + 4\п^?^-). (8.40)
Обратим внимание на логарифмическую особенность при р2-+т2. При р2 > т2 величина 2 становится комплексной, что отвечает существованию процесса распада виртуального электрона на электрон и фотон. С аналогичным явлением для фотонного пропагатора мы уже знакомы. При р2 — т2 тХ последний логарифм в (8.40) заменяется на In (Х/т). В этом можно убедиться путем прямого вычисления2) интеграла в (8.38) в пределе р2-*т2.
§ 38. Перенормировка электронного пропагатора
Изменение, внесенное в предыдущем параграфе в электронный пропагатор, состоит, согласно (8.34), в замене
+ = +°<a8>-
(8.41)
Из (8.40) имеем
2 {р) = 6т- [Z2~' -\+С (р)] 0 - т), (8.42)
где
. Зат . А2 6т=—г— In — 4п т1
тХ<€. р2 — т2< т2.
1) Выделенный в (8.38) конечный член однозначно определяется из условия обращения его в нуль на массовой поверхности при р2 = тг.
2) Вычисление полного вклада второго порядка в электронную собственно-энергетическую часть содержится в работах [2, 741.
Перенормировка электронного пропагатора
167
Величина С(р) выбрана так, чтобы при р = т функция С(/?) = 0; таким образом, она не зависит от параметра обрезания А. При р = т получаем
г*"-1 21пт)- <8-43>
Теперь, используя (8.42), можно переписать (8.41) в следующем виде:
______i_____________________1Z2_____________
р — т — 2 (р) (р — т) [1 + Z2C (р)] — Z26m
= (р - т - 6т) [1 + С (р)] + 0
Мы отождествим величину mPh = т + 6т с физической массой электрона; параметр т в уравнении Дирака представляет собой, как и голый заряд, другую неизмеряемую величину. Необходимость перенормировки массы возникает уже в классической электродинамике.
Действительно, масса, измеряемая в опытах со свободными электронами, есть сумма массы т, входящей в выражение для лоренцевой силы, и электромагнитной собственной массы электрона [75]. Для классического электрона с радиусом ~а электромагнитная собственная энергия составляет ~а/а. Тогда для наблюдаемой массы получим величину ~ (т + а/а) = тръ.- В случае точечного заряда a-v 0 и поправка к массе становится бесконечной. То же самое происходит в теории Дирака, однако здесь поправка расходится, как логарифм, содержащий параметр обрезания, в то время как в классической теории собственная энергия расходится линейно при а-> 0. Ослабление расходимости следует из теории дырок.
