Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
^-^r—I, ~ *«>•
Сечение определяется как скорость перехода /?, отнесенная к потоку падающих частиц /fnc = (х) уаф,- М, где а обозначает
компоненту вектора вдоль направления скорости падающих частиц v, = рi/Ei. Согласно принятому в (7.2) условию нормировки поток равен |/щс| = |v,|/l/. Таким образом, дифференциальное сечение рассеяния do, приходящееся на единичный телесный угол dQ, есть
da ___ f 4Z2a2m2 I U (pf, sf) y°u (pv sf) |2 p]dpf
dQ ) \yi\Ei |q|4 Ef
Пользуясь равенством
pfdpf = EfdEf,
окончательно получаем
¦Et). (7.10)
da 4Z2a2m2 *d?2 I a И
\й(р;, Sf)y°u(Pi, Si)\2, (7.11)
что в нерелятивистском пределе согласуется с формулой Резерфорда.
Обычно поляризация конечных частиц не регистрируется, а поляризация начальных частиц не задается. Если падающий пучок имеет остаточную поляризацию, то для этого, как правило, имеются веские причины и экспериментатор в конечном
‘) Если падающие и рассеянные частицы описывать волновыми пакетами, то удается избежать появления не вполне корректно определенных ква дратов б-функциц. Тогда раредству (7.9) можно дать строгое обоснование (см. [56]).
РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ
107
итоге их обнаружит, как это произошло в случае с поляризованными электронами от p-распада. Когда подобная информация отсутствует, различным начальным поляризационным состояниям априорно приписывается равная вероятность. Это означает, что наблюдаемое сечение представляет собой сечение (7.11), просуммированное по конечным спиновым состояниям и усредненное по начальным, т. е.
-%¦ = 4 2 I q2]?2 Z \u{pf, sf)ybu(pu Si)\2. (7.12)
± Sf.Si
Сумму, по спинам можно переписать в виде
? «„(/>,, s,)«+(p/, s;)v^YL4(Pf. s/) =
± Sf, s{
= Z S/)Y>6(P;, s,)“e(Pi, si)yluAPf> sf)’
± Sf, Si
где, как обычно, подразумевается суммирование по повторяющимся индексам. Это частный случай общего соотношения, которым мы будем часто пользоваться:
| й (/) Гы (0 Р = [й (/) Г« (/)] [ы (ОГы (/)]; (7.13)
здесь Г = Y°r+Y°- Например,
у\* = у*1, i'Y5 = i\5,
Y^Y5 — y^Y3 и _________
йЬс • • • р = р • • • сЬй.
Суммирование по спинам можно заменить вычислением следов, если воспользоваться проекционными операторами (3.18):
4
? Н (Рп si) «* (Pi> si) = Е егшв (р<) (Pi) =
± r = l
Тогда сумма по спинам в (7.12) переходит в
? ?Мр/, s/)(yoZ^y°) «3(р/>5/)==
а. В ±S[
= yQЬ + т ул (pf + m\
~~q ' 'afl ^ )Sa,
108 ОПИСАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИИ [ГЛ. 7
где мы применили тот же самый прием. Последнее выражение представляет собой след, т. е. сумму диагональных элементов матрицы
{Pi + т) (pf + т)
Yo—2^— Vo—•
Поэтому (7.12) можно записать в виде
da 4Z2a1nt2 (p. + т) (pf + т)
SP Vo-^Г1 • (7Л4>
§ 25. Теоремы о вычислении следов; усредненное по спинам сечение рассеяния в кулоновском потенциале
Теперь мы сделаем некоторое отступление и установим ряд полезных свойств матриц Дирака. Эти свойства позволяют вычислять сечения, не производя никаких действий с матрицами Дирака. Они выводятся из коммутационных соотношений для матриц у и справедливы независимо от выбора конкретного представления для этих матриц. Мы перечислим эти свойства в виде ряда теорем.
Теорема 1.
След нечетного числа матриц у равен нулю. Доказательство. Для нечетного п
Sp d, • • • йп = Sp йх • • • йпу5у5 = Sp Ys<2i • • • йпУи>
здесь мы воспользовались тем, что след не меняется при циклической перестановке, в частности, Sp.4B = SpB,4. Последовательно переставляя первую из матриц Y5 направо, мы п раз получим знак минус, возникающий из свойства антикоммутации YuYs + YsYn = 0. В итоге для нечетного п имеем
Sp di о„ = (— lySpd, ••• d„YsY5 = 0. (7.15)
Теорема 2.
Sp 1 = 4,
. \ (7.16)
Sp db — Sp bd = Ч2 Sp (db + Ьй) = а • b Sp 1 = 4а ¦ Ь.
Теорема 3.
Sp di • • • dn = ai • a2 Sp d3 • • • dn — a, • a3 Sp d2dA • • • dn +
••• + a{ • an Spd2 • • • dn-i. (7.17)
В частности,
Sp did2djdji = 4[ax • a2as -04 + 0!- a4a2 • a, — at ¦ a$a2 • a4].
Доказательство. Пользуясь равенством d\d2 = — d2dx + 2аха2, мы переставим d 1 вправо по отношению к а2, т. е.
Sp <М2 • • • dn = 2a, • а2 Sp ds • • • йп — Sp d2dxd3 • • • dn.
