Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Переходя к обсуждению симметрии относительно обращения времени, мы для выяснения ее физического содержания опять воспользуемся мысленной киносъемкой последовательности наблюдений над состоянием, описываемым волновой функцией г)? (дс). Просмотрим теперь отснятый кинофильм в обратном направлении, от конца к началу. Можно утверждать, что динамика наблюдаемого явления инвариантна относительно обращения времени, если показанный в обратном порядке фильм изображает физически возможную последовательность наблюдений. Эта инвариантность будет обеспечена при условии, что мы можем заменить i на f = —t и проделать такое преобразование,
ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ И ДРУГИЕ СИММЕТРИИ
77
которое приводит уравнение Дирака к прежнему виду с прежней физической интерпретацией. Преобразованная волновая функция будет описывать первоначальный электрон, движущийся назад во времени, и она будет физически возможной, поскольку будет удовлетворять уравнению Дирака.
Для построения искомого преобразования обращения времени запишем уравнение Дирака в гамильтоновой форме
. /у _ еА) -j- р„г -j- еф] г|, (х> () (5.11)
и определим преобразование ? такое, что при t' = —t г|¦>'(?) = = 3/ф(0- Тогда (5.11) переходит в ')
(0 = - гЯ1_Ч'(0. (5.12)
Инвариантность относительно обращения времени означает, что
либо %Н (t) ?-1 = — либо J/2-1 = — г.
Для выяснения поведения Н при действии оператора ? мы должны сперва установить закон преобразования 4-потенциала электромагнитного поля при замене t' = —t. Поскольку А обусловлен токами, которые меняют знак при обращении времени, мы потребуем
А'(П = -А(/)
и аналогично
Ф'(*') = + Ф(0 (5-13)
вследствие того, что Ф обусловлен зарядами; кроме того,
= +V , так как х' = +х. Теперь ясно, что для приведения уравнения (5.12) к первоначальному виду необходимо, чтобы преобразование ? . .. ?-1 заменяло i на —г; следовательно, Z можно представить в виде оператора комплексного сопряжения, умноженного слева на некоторую постоянную матрицу
размерности 4X4:
Ч/(П = 7У(0. (5.14)
Тогда имеем
= Ta*T~l) [- - еА' it')] +
+ (ТрТ~1)т + еФ' (ПЬ'Ю.
В представлении (1.17), которым мы обычно пользуемся, это означает, что матрица Т должна коммутировать с aj и р и ан-тикоммутировать с осi и а3. Таким образом, нашим требованиям
‘) Мы опускаем несущественную здесь зависимость от х.
78
ТЕОРИЯ ДЫРОК
[ГЛ. 6
удовлетворяет матрица
Т = — га,а3 = -f iyly3,
(5.15)
где фазовый множитель выбран произвольно.
Чтобы показать, что преобразование ? соответствует тому, что мы подразумеваем под обращением времени в классической физике, применим (5.14) и (5.15) к решению в виде плоской волны для свободной частицы с положительной энергией:
где р' = (ро, —р) и s' = (so, —s) и, следовательно, проектирование производится на решение, отвечающее свободной частице с измененными на обратные значениями трехмерных векторов импульса р и спина s. Эта операция, известная как вигнеровское обращение времени, была впервые введена в 1932 г. [51].
Поскольку теория инвариантна относительно операций пространственной инверсии и обращения времени, мы, если пожелаем, можем использовать эти операции при построении волновой функции позитрона. Объединяя (5.9), (5.14) и (5.15) с (5.5), находим простое соответствие между волновой функцией позитрона
Фрсг (*') = РСу0 (2д|э (х))* = РСЩ (х) =
= гег"> y5^W, где х' = — (5.17)
и волновой функцией электрона, умноженной на iei(fys и описывающей электрон, движущийся в обратном направлении в пространстве и времени.
Для собственного состояния свободной частицы t|j(x), характеризующегося определенными значениями импульса и спина (/?**, s*1) и е = —1 имеем
Уравнение (5.18) отличается от (5.8) только направлением спина, и поэтому мы можем представить волновую функцию позитрона с положительной энергией как волновую функцию электрона с отрицательной энергией, умноженную на ie^y5 и отвечающую движению в обратном направлении в пространстве-времени.
Чтобы убедиться в справедливости высказанного утверждения для произвольного решения во внешнем электромагнитном
(5.18)
ЗАДАЧИ
79
поле, надо вернуться к уравнению для отрицательных собственных значений энергии
[а • (— i'V — еА) + fkz + еФ] ф = — ?\|э (5.19)
и произвести преобразование (5.17). Из (5.10) и (5.13) можно видеть, что при комбинированной операции инверсии пространства и обращения времени А'^(х') —А^{х) и *' = — * ; следовательно, (5.19) приобретает желаемый вид
[а • (— tV' + ек' (О) + N — еФ' (х')] $РСТ (х') = + Е^РСТ (х').
