Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
( 1 при = к;>
| 0 при к^к#.
88
МЕТОД ФУНКЦИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
[ГЛ. 6
когда V выключается). В частности, t—>±00 может означать времена, когда частицы рождаются и регистрируются.
Путем итерации уравнения (6.14) мы можем разложить ф<+> в ряд многократного рассеяния, члены которого будут отвечать диаграммам, изображенным на рис. 6.1.
§ 22. Формальное определение и свойства функции Грина
С физической точки зрения мы подготовили все необходимое для решения задачи рассеяния. Теперь мы построим формальный математический аппарат, позволяющий получать эти решения. Наша цель — исследовать дифференциальное уравнение, определяющее G, и, в частности, получить явное решение для Go. Тогда можно будет произвести разложение G, о котором говорилось выше. Начнем с уравнения (6.1), справедливого при i' > t, и перепишем его в виде, справедливом при любых t' и t:
здесь Q(t' ¦ согласно
0 (/' — О 'Ф (*') = i ^ d3x G (хх) ^(х); (6.17)
t) — единичная ступенчатая функция, определенная
Г 1, t'>t,
е - о = ( о.
(6.18)
Она имеет следующее очень полезное интегральное представление:
0 (т) = lim
е->0
- 1
2т
da>e~
ю + ге
(6.19)
Расположение контура интегрирования в комплексной плоскости ш показано на рис. 6.2.
Im (о
\
-ге
t<0
*-Re<y
t>0
Рис. 6.2. Контур интегрирования в комплексной плоскости для единичной функции-ступеньки 0(т).
При т > 0 контур замыкается бесконечной полуокружностью в нижней полуплоскости, чтобы обеспечить экспоненциальное затухание подынтегрального выражения, и значение интеграла
ФУНКЦИЯ ГРИНА
S9
равно 1 согласно теореме Коши. При т < 0 контур замыкается в верхней полуплоскости и значение интеграла равно нулю, поскольку полюс в точке —t'e оказывается вне контура. Вследствие того, что 0 (т) испытывает единичный скачок при т = 0, ее производная есть б-функция
tf9 (т) dx
Теперь, пользуясь (6.17), мы попытаемся получить для функции G(x'\x) дифференциальное уравнение и исследовать ее формальные свойства. Как известно, ф(х') удовлетворяет уравнению Шредингера, поэтому применим к (6.17) оператор
\i-jp- — н (*')] е (t' — 0 Ф (*') = /s (/' — 0 Ф СО =
= i J д?х [i-±—H (*')] G (х'-, х) ф (*). (6.21)
Поскольку это равенство справедливо для любого решения ф, из него можно получить уравнение для шредингеровской функции Грина
[г -jp--Н (*')] G (*'; х) = б3 (х' - х) б (t' -t) = 64 (х' - х). (6.22)
Это уравнение вместе с граничным условием, отвечающим распространению вперед во времени,
G (х'\ х) = 0 при t' < t, (6.23)
определяет запаздывающую функцию Грина, или пропагатор, соответствующий уравнению (6.17).
Для свободной частицы, когда гамильтониан есть Н0(х') =
= —2~-V2k/, уравнение для функции Грина может быть решено явно. В этом случае G0(x'\x) зависит только от разности координат точек (х', /') и (х, t). Это связано с тем, что волна в (х\ t') от единичного источника, расположенного в х и включаемого в момент t, зависит лишь от интервала (х' — \\t' — t), а функция G0(х';х) есть не что иное, как амплитуда этой волны. Рассмотрим фурье-преобразование
G„(*'; *) = G0 (*'-*)= $ е‘р'(х'-х)-‘“ У'~‘Ю0 (р, со). (6.24)
90
Метод функции распространения
[гл. в
Уравнение (6.22), записанное для G0(p, и), имеет вид
(¦'-зг+i'"О с«
Следовательно, для со Ф р2!2т
-JL?y. е~ш {t'-t)+iР-(х'-х) (2я)‘
G0 (р, “) ш _ р2/2т ¦
(6.25)
Это выражение необходимо дополнить правилом обращения с особенностью в нуле знаменателя. Оно вытекает из граничного условия запаздывания (6.23).
Вспоминая сказанное по поводу представления 0-функции в виде (6.19), введем в знаменатель бесконечно малую положительную мнимую добавку и проведем интегрирование в (6.24).
Особенность лежит ниже действительной оси, как показано на рис. 6.3, и мы получаем
где в последней форме записи использовано обозначение (6.15).
Полученное равенство — один из примеров (для случая плоских волн) выражения функции Грина в виде суммы по полному набору собственных функций соответствующего дифференциального уравнения1). В общем случае, если мы можем по-
') Функцию Грина для свободной частицы можно записать в замкнутой форме
1ш<У
х
Рис. 6.3. Особенность функции G0 (р> и>).
ОО
