Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Сравнивая (6.9) с (6.5) и (6.6), получаем соответствующее выражение для функции Грина G:
G (х'\ х) = Go(*'; х) + Y ^ d3XiMiGo(x'\ хь /<)V {xit tt)G0(xit tt\ *) +
I
+ y Sd3xi л/<' d3xi G° x,'> ^v (Xi>ti)x
4
(<<>*/)
X G0(xt, tt; xh lj)V (Xj, tj)G0(Xj, tj, *)+ ... (6.10)
Мы можем снять ограничения, связанные с упорядочением времени (^ > tj и т. д.), если условимся считать Go(x', t'; х, /) =0 при t' < t. Такое граничное условие означает, что волны распространяются только вперед во времени. Соответствующий пропа-гатор G0 принято называть запаздывающим. Физически это означает, что гюйгенсовское возмущение Лг|) от г-й итерации (в момент времени /г) начинает распространяться только с момента tu
В пределе, когда взаимодействия происходят непрерывно, суммы по временным интервалам могут быть заменены интегралами по dt и мы получаем
G (х'; х) = Got*'; х) + jj d% G0 {х'; х{) V (*,) G0 (*,; х) +
+ J №х\ d*x2 G0 {х'; л,) V (*,) G0 {хх\ х2) V [х2) G0 (х2\ х) + ..., (6.11) где
d4x = d3x dxо = d3x dt.
86
МЕТОД ФУНКЦИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
[гл. е
Предполагается, что ряд (6.11), отвечающий многократному рассеянию, сходится ’) и тогда результат его суммирования можно представить в виде уравнения
G (хх) = G0 (х'; х) + ^ d% G0 (х'\ *0 V (jet) G (a^; х). (6.12)
Заметим, что не только G0(x'-,x), но также и G(x';x) обращается в нуль при ? <it в соответствии с нашим простейшим принципом причинности.
Уравнение (6.12) позволяет методом итераций выразить G через У и G0 и тем самым построить волновую функцию ф(х', t'), если она известна в более ранний момент времени. В частности, для решения задачи рассеяния мы должны найти волну в отдаленном будущем по заданному волновому пакету ф(х,/), описывающему частицу, которая в отдаленном прошлом приближается к области взаимодействия. Чтобы задача рассеяния была поставлена правильно, взаимодействие в начальный момент должно отсутствовать; тогда ф будет решением уравнения для свободной частицы и требуемые начальные условия удовлетворены.
Математически такую постановку задачи удобно осуществить путем локализации взаимодействия во времени2), адиабатически включая V (х, t) при t—*—оо; тогда в отдаленном прошлом точное решение \|з приближается к ф и рассеянная волна отсутствует. В более поздний момент времени ф(х', /') дается выражением (6.1):
ф(х', t')= lim i t d3xG(x', t'\ x, /)ф(х, t). (6.13)
J
Выражая G через G0 согласно (6.12), находим ф(х', t') = lim i t d'x [g0 (x', t'\ x, t) -f
+ $dV?o(x', t'l 1) V (1) G (1; x, *)]„(*, t) =
= ф(х', *') + d4xxG0(x', t'; xu tx)V (хь ^)ф(хь *,)• (6-14)
В действительности не получено никакого решения, поскольку неизвестная функция -ф фигурирует под знаком интеграла в правой части. Мы, однако, имеем такую формулировку задачи, ко-
’) Здесь мы пренебрегаем возможностью существования в потенциале V связанных состояний.
2) С таким же успехом можно строить волновые пакеты, локализованные
в пространстве и удаленные в начальный момент времени от области взаимо-
действия.
НЕРЕЛЯТИВИСТСКИИ ПРОПАГАТОР
87
торая включает требуемые граничные условия и позволяет немедленно получить приближенное решение, если возмущающий потенциал V мал.
Мы в первую очередь интересуемся видом рассеянной волны при оо. В этом предельном случае частица покидает область взаимодействия и ip снова становится решением уравнения для свободной частицы. Чтобы эго условие выполнялось, мы, как и прежде, адиабатически выключаем взаимодействие при /'-> + оо. Вся информация о рассеянной волне заключена в амплитудах перехода при f'-v-f*00 в различные конечные свободные состояния
(pf{x/'t/)==^eikrX'~iafl' (6Л5) из заданной падающей волны фг-; в частности, мы можем пользоваться плоскими волнами1). Амплитуда перехода для заданных (/, t) является элементом матрицы рассеяния и дается выражением
S.. = lim [ ф* (х', t') г|><+) (х', /') d3x' —
tf —> с» J
= Jim jj d3x' ф* (x', t') [фг (x', t') +
+ \ d4x G0 (x', t'\ x, t) V (x, /) г|5<+> (x, f)] =
= 63 (k, — кЛ + lim ^ d3x' d4x ф* (x', t') G (x', t'\ x, t) X
4 1 tf-* OO J 1
X V (x, /) t<+> (x, t), (6.16,
где г|5'+'(x,/) есть такое решение волнового уравнения (6.14), которое при / —>—оо переходит в плоскую волну с импульсом кг. Под сокращенной записью /->±оо мы подразумеваем, что t стремится к такому большому конечному значению, когда частицы находятся вне области взаимодействия (иначе говоря,
‘) В (6.15) решение в виде плоской волны нормировано на 6-функцию. Иногда пользуются нормировкой в ящике; при этом
(2лГч'-> V~'k,
где V — объем ящика, в котором заключено физическое взаимодействие. Если пользоваться нормировкой в ящике, то 6-функция в (6.16) заменяется 6-символом Кронекера
